Question

5．如圖1所示，固定的平行金屬導軌MN、PQ，與水平面的夾角為30°；兩導軌間的距離為L=1m，電阻不計，導軌下端連接一固定電阻R=0.4Ω，上面橫放一導體棒ab，距離下端d=6m，與導軌間的動摩擦因數(shù)μ=$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，其質(zhì)量m=0.1kg，電阻r=0.2Ω，與導線構(gòu)成閉合回路．導軌處在垂直于導軌平面且向上的勻強磁場中，磁感應強度B隨時間t變化的關(guān)系如圖2所示，其中B₁=0.6T，在t=0時刻及t₀時刻棒ab均恰不滑動，且在此過程中棒ab靜止，t＞t₀之后，導體棒ab將在導軌上運動，并能達到最大的穩(wěn)定速度，假設滑動摩擦力等于最大靜摩擦力，g取10m/s²．結(jié)果都保留兩位有效數(shù)字，求：

（1）從t=0開始計時，導體棒ab靜止在導軌上的時間t₀的數(shù)值；
（2）導體棒ab從開始運動，到剛達到底邊MP過程中，電阻R產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）在t=0-t₀時間內(nèi)棒ab不滑動，受力平衡，列出平衡方程．在t=t₀，導體棒剛好要下滑，靜摩擦力達到最大值，列出平衡方程．由法拉第電磁感應定律和歐姆定律求出該時刻的電流，聯(lián)立解得t₀的數(shù)值；
（2）導體棒ab從靜止開始運動，先作加速運動，穩(wěn)定時作勻速直線運動，受力平衡，根據(jù)平衡條件和安培力公式列式，求解最大速度．由焦耳定律求出R上產(chǎn)生的焦耳熱Q．

解答 解：（1）在0-t₀時間內(nèi)，設回路中感應電動勢大小為E，感應電流為I．
在t=0，導體棒剛好要上滑：BIL=mgsin°+f…①
在t=t₀，導體棒剛好要下滑：B₂IL+f=mgsin30°…②
f=μmgcos30°…③
由法拉第電磁感應定律得：${E_1}=\frac{△ϕ}{△t}=Ld\frac{{{B_1}-{B_2}}}{t_0}$…④
根據(jù)閉合電路的歐姆定律：$I=\frac{E}{R+r}$…⑤
聯(lián)立解得：t₀=3.2s…⑥
 （2）t₀以后，由①②兩式可得B₂=0.2T，導體棒ab從靜止開始運動，達到最大穩(wěn)定速度v_m時，有：E₁=B₂Lv_m…⑦
由平衡條件得：F+f=mgsin30°…⑧
又據(jù)安培力為：F=B₂IL=$\frac{{B}_{2}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R+r}$…⑨
導體棒ab從靜止開始運動，到剛達到底邊MP過程中，設整個回路中的產(chǎn)生的焦耳熱為Q，由能量守恒得：
 mgdsin30°-fd=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$+Q…⑩
根據(jù)電阻功率的分配可得：${Q_k}=\frac{R}{R+r}Q$…⑪
聯(lián)立解得：Q_R=0.53J…⑫
答：（1）從t=0開始計時，導體棒ab靜止在導軌上的時間t₀的數(shù)值是3.2s；
（2）導體棒ab從開始運動，到剛達到底邊MP過程中，電阻R產(chǎn)生的焦耳熱是0.53J．

點評 本題中先產(chǎn)生感生電動勢，要會運用法拉第定律求感應電動勢．導體棒進入磁場后，產(chǎn)生動生電動勢，由E=BLv求解感應電動勢．