Question

12．如圖所示，有一個(gè)光滑的圓錐體固定在水平面上，在其頂點(diǎn)系一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線(xiàn)，另一端拴一小物體A，使它剛好能貼著圓錐面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)（即圓錐體對(duì)A無(wú)作用力），當(dāng)運(yùn)動(dòng)到圖中位置時(shí)，從圓錐的頂點(diǎn)O自由釋放另一小物體B，使它沿著跟OC對(duì)稱(chēng)的另一條母線(xiàn)OD下滑．若圓錐體母線(xiàn)與軸線(xiàn)（OP）間夾角為θ，（設(shè)細(xì)線(xiàn)不干擾物體B的運(yùn)動(dòng)）求：
（1）物體A運(yùn)動(dòng)的角速度大小
（2）物體B沿母線(xiàn)下滑L距離所需時(shí)間
（3）要使物體A能夠與物體B相碰，圓錐體母線(xiàn)與軸線(xiàn)（OP）間夾角θ應(yīng)為多大？（可用三角函數(shù)表示）

Answer 1

分析 （1）對(duì)物體受力分析，根據(jù)徑向的合力提供向心力，通過(guò)牛頓第二定律求出物體A運(yùn)動(dòng)的角速度大�。�
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出物體B的加速度，根據(jù)位移時(shí)間公式求出物體B的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（3）要使物體A能夠與物體B相碰，B的運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于半個(gè)A的周期的奇數(shù)倍．

解答 解：（1）球A剛好能貼著圓錐面勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則球A受力如圖所示，
則mgtanθ=mLsinθω²，
解得$ω=\sqrt{\frac{g}{Lcosθ}}$．
（2）物體B沿母線(xiàn)向下做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，加速度a=gcosθ
則$\frac{1}{2}gcosθ{t}^{2}=L$
解得t=$\sqrt{\frac{2L}{gcosθ}}$．
（3）要使二者相碰，則需滿(mǎn)足t=$（n+\frac{1}{2}）\frac{2π}{ω}$，（n=0、1、2、3…）
即$\sqrt{\frac{2L}{gcosθ}}=（n+\frac{1}{2}）\frac{2π}{ω}$，
解得cosθ=$\frac{L{ω}^{2}}{2{π}^{2}g（n+\frac{1}{2}）^{2}}$．（n=0、1、2、3…）
 答：（1）物體A運(yùn)動(dòng)的角速度大小為$\sqrt{\frac{g}{Lcosθ}}$．
（2）物體B沿母線(xiàn)下滑L距離所需時(shí)間為$\sqrt{\frac{2L}{gcosθ}}$．
（3）要使物體A能夠與物體B相碰，圓錐體母線(xiàn)與軸線(xiàn)（OP）間夾角θ的余弦為$\frac{L{ω}^{2}}{2{π}^{2}g（n+\frac{1}{2}）^{2}}$．（n=0、1、2、3…）．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行求解，注意圓周運(yùn)動(dòng)的周期性．