Question

13．設(shè)想有一“小月亮”以周期T繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)，由于地球遮擋陽(yáng)光，會(huì)經(jīng)歷“日全食”過(guò)程，如圖所示．已知地球的半徑為R，地面的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)周期為T_E．太陽(yáng)光可看作平行光，在“小月亮”上測(cè)出地球的張角為2α．
（1）“小月亮”在一天時(shí)間內(nèi)經(jīng)歷“日全食”多少次？
（2）每次“日全食”經(jīng)歷的時(shí)間有多長(zhǎng)？
（3）“小月亮”繞地球公轉(zhuǎn)、同時(shí)自轉(zhuǎn)，且自轉(zhuǎn)、公轉(zhuǎn)方向相同，自轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸垂直于公轉(zhuǎn)軌道平面．已知“小月亮”的自轉(zhuǎn)周期為T₀．“小月亮”上的人連續(xù)兩次測(cè)定地球球心在天空中同一位置的時(shí)間間隔為“一日”，求這“一日”的時(shí)間T₁為多大？

Answer 1

分析 “小月亮”繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由“小月亮”的周期及半徑可求出“小月亮”的線速度，同時(shí)由引力提供向心力的表達(dá)式，可列出周期與半徑及角度α的關(guān)系．當(dāng)“小月亮”進(jìn)入地球的影子后出現(xiàn)“日全食”到離開(kāi)陰影后結(jié)束，所以算出在陰影里轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，即可求出發(fā)生一次“日全食”的時(shí)間；由地球的自轉(zhuǎn)時(shí)間與“小月亮”的轉(zhuǎn)動(dòng)周期，可求出一天內(nèi)飛船發(fā)生“日全食”的次數(shù)．

解答 解：（1）“小月亮”繞地球勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
線速度為v=$\frac{2πr}{T}$…①
又由幾何關(guān)系知sin$α=\frac{R}{r}$②
由①②解得：v=$\frac{2πR}{Tsinα}$
地球自轉(zhuǎn)一圈時(shí)間為T_E，飛船繞地球一圈時(shí)間為T，飛船繞一圈會(huì)有一次日全食，所以每過(guò)時(shí)間T就有一次日全食，得一天內(nèi)飛船經(jīng)歷“日全食”的次數(shù)為 $\frac{{T}_{E}}{T}$，
（2）由幾何關(guān)系，飛船每次“日全食”過(guò)程的時(shí)間內(nèi)飛船轉(zhuǎn)過(guò)2α角所需的時(shí)間為：t=$\frac{2αT}{2π}=\frac{αT}{π}$，
（3）設(shè)小月亮“一日”內(nèi)公轉(zhuǎn)的角度為θ，則此時(shí)間內(nèi)小月亮自轉(zhuǎn)的角度為2π+θ，
則有：$\frac{θ}{2π}=\frac{{T}_{1}}{T}$，$\frac{2π+θ}{2π}=\frac{{T}_{1}}{{T}_{0}}$，
解得：${T}_{1}=\frac{T{T}_{0}}{T-{T}_{0}}$
答：（1）“小月亮”在一天時(shí)間內(nèi)經(jīng)歷“日全食”$\frac{{T}_{E}}{T}$次；
（2）每次“日全食”經(jīng)歷的時(shí)間為$\frac{αT}{π}$；
（3）這“一日”的時(shí)間T₁為為$\frac{T{T}_{0}}{T-{T}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 掌握勻速圓周運(yùn)動(dòng)中線速度、角速度及半徑的關(guān)系，同時(shí)理解萬(wàn)有引力定律，并利用幾何關(guān)系得出轉(zhuǎn)動(dòng)的角度．