Question

20．某游戲裝置放在豎直平面內(nèi)，如圖所示，裝置由粗糙拋物線形軌道AB和光滑的圓弧軌道BCD構(gòu)成，控制彈射器可將穿在軌道上的小球以不同的水平初速度由A點射入，最后小球?qū)⒂蓤A軌道的最高點D水平拋出，落入卡槽中得分，圓弧半徑為R，O′為圓弧的圓心，C為圓弧軌道最低點，拋物線軌道上A點在坐標軸的原點O上，軌道與圓弧相切于B點，拋物線軌道方程為y=ax²（0＜a＜$\frac{1}{4R}$），∠BO′C=θ，x軸恰好將半徑O′D分成相等的兩半，交點為P，x軸與圓弧交于Q點，則：
（1）將小球以某一初速度水平由A點射入軌道，小球沿軌道運動到與A等高處Q，速度減為0，試求小球運動到B點的速度；
（2）由（1）得到的B點的速度，能否求出小球在A點射入的速度，如果能請求出v₀，不能，請說明理由；
（3）試求在多次彈射小球的過程中，機械能損失最小的一次，小球在最高點D對軌道的作用力與最低點C對軌道的作用力的比值．

Answer 1

分析 （1）BCD是光滑的軌道故從B到Q的過程中只有重力做功，根據(jù)動能定理求得小球在B點的速度即可；
（2）從A到B的過程中只重力和阻力做功，因為阻力是變力，不能求出阻力做的功，故無法求得小球在A點的初速度；
（3）要求小球機械能損失最小，則由題意可知，當小球從A點做平拋運動，與拋物線重合時，小球損失的機械能最小，據(jù)平拋運動規(guī)律求得小球在B點時速度，再由動能定理和小球在最高點最低點時豎直方向的合外力提供小球圓周運動向心力分析求解即可．

解答 解：（1）小球從B到Q的過程中在光滑的圓弧軌道上運動，全過程中只有重力做功，根據(jù)動能定理有：
$-mg（Rcosθ+\frac{R}{2}）=0-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得小球在B點時的速度：v_B=$\sqrt{gR（1+2cosθ）}$
（2）不能求出，因為拋物線軌道粗糙，小球在軌道上運動時所受摩擦力是變力，故不能求出摩擦力對小球做的功，所以無法由動能定理求得小球在A點時的速度；
（3）由題意可知，要使小球損失的機械能最小，即小球在整個運動過程中無摩擦力做功，所以當小球做平拋運動軌道恰好與拋物線軌道重合時，小球運動過程中無摩擦力做功，所以有：
根據(jù)平拋運動規(guī)律有：
x=v₀t
$y=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
可得$y=\frac{g}{2{v}_{0}}{x}^{2}$=ax²
所以：${v}_{0}=\sqrt{\frac{g}{2a}}$
小球從A到C，只有重力做功有：
$mg（R+\frac{R}{2}）=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
小球在最低點豎直方向的合力提供圓周運動向心力有：${F}_{NC}-mg=m\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
聯(lián)列兩式可解得：${F}_{NC}=4mg+\frac{mg}{2aR}$
從A到D過程中只有重力做功有：
$-mg\frac{R}{2}=\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：${v}_{D}=\sqrt{\frac{g}{2a}-gR}$
因為$0＜a＜\frac{1}{4R}$
所以：${v}_{D}＞\sqrt{gR}$
小球在D點有：${F}_{ND}+mg=m\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
可得：${F}_{ND}=\frac{mg}{2aR}-2mg$
所以可得：$\frac{{F}_{ND}}{{F}_{NC}}=\frac{1-4aR}{1+8aR}$
答：（1）將小球以某一初速度水平由A點射入軌道，小球沿軌道運動到與A等高處Q，速度減為0，試求小球運動到B點的速度為$\sqrt{gR（1+2cosθ）}$；
（2）由（1）得到的B點的速度，不能求出小球在A點射入的速度，因為不能求出AD段摩擦力這個變力所做的功；
（3）試求在多次彈射小球的過程中，機械能損失最小的一次，小球在最高點D對軌道的作用力與最低點C對軌道的作用力的比值為$\frac{1-4aR}{1+8aR}$．

點評 本題屬于動能定理和圓周運動結(jié)合型的綜合題，能根據(jù)題中要求在拋物線段機械能損失最小判斷出小球做平拋運動的軌跡與拋物線重合時無摩擦力做功，這是解決第三問的一個關(guān)鍵點．