Question

15．如圖所示，兩個(gè)物體以相同大小的初始速度從空中O點(diǎn)同時(shí)分別向x軸正負(fù)方向水平拋出，它們的軌跡恰好是拋物線方程y=$\frac{1}{k}$x²，重力加速度為g，那么以下說(shuō)法正確的是（曲率半徑可認(rèn)為等于曲線上該點(diǎn)的瞬時(shí)速度所對(duì)應(yīng)的勻速率圓周運(yùn)動(dòng)的半徑）（　　）

• A． 初始速度為$\sqrt{\frac{kg}{4}}$
• B． 初始速度為$\sqrt{2kg}$
• C． O點(diǎn)的曲率半徑為$\frac{1}{2}$k
• D． O點(diǎn)的曲率半徑為2k

Answer 1

分析 據(jù)題兩球均做平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向的分運(yùn)動(dòng)是勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向上的分運(yùn)動(dòng)是自由落體運(yùn)動(dòng)，得到水平位移大小x和豎直位移大小y與時(shí)間的關(guān)系，代入拋物線方程，即可求得初速度；根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)求解O點(diǎn)的曲率半徑．

解答 解：A、B、設(shè)小球平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則有：
x=v₀t，y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
代入到拋物線方程 y=$\frac{1}{k}{x}^{2}$，解得初速度為：v₀=$\sqrt{\frac{kg}{2}}$．故A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤．
C、D、拋物線方程y=$\frac{1}{k}{x}^{2}$，求導(dǎo)得：y′=$\frac{2}{k}x$=k′x．
根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)得知，O點(diǎn)的曲率半徑為：R=$\frac{1}{k′}$=$\frac{k}{2}$．故C正確，D錯(cuò)誤．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題運(yùn)用數(shù)學(xué)上參數(shù)方程的方法求解初速度，關(guān)鍵是抓住平拋運(yùn)動(dòng)的分解方法．根據(jù)曲率半徑的定義，由數(shù)學(xué)知識(shí)求解．