Question

10．在水平長直的軌道上有一長度為l的平板車，將一質(zhì)量為m=1kg的小滑塊在下列情形下輕放在平板車上表面的中點(diǎn)．

（1）若平板車的質(zhì)量為M=3kg，長直軌道光滑，讓平板車以v₀=4m/s的初速度運(yùn)動(dòng)，小滑塊不會(huì)從平板車上掉下來，則小滑塊相對(duì)于平板車靜止時(shí)的速度為多少？
（2）若平板車在外力控制下始終保持速度v₀=4m/s做勻速直線運(yùn)動(dòng)，小滑塊最終相對(duì)小車靜止，滑塊和車因摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能為多少？
（3）已知滑塊與車面間動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，車長L=2m，平板車在外力控制下保持速度v₀=4m/s速度不變，取g=10m/s²，當(dāng)滑塊放到車面中點(diǎn)的同時(shí)對(duì)該滑塊施加一個(gè)與車運(yùn)動(dòng)方向相同的恒力F=6N，要保證滑塊不能從車的左端掉下，恒力F作用時(shí)間應(yīng)該在什么范圍？

Answer 1

分析 （1）由動(dòng)量守恒定律列出等式，由能量守恒求解速度；
（2）根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解相對(duì)位移，則可由功的計(jì)算求出因摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能；
（3）力F取6N，當(dāng)滑塊運(yùn)動(dòng)到車左端后，為使滑塊恰不從右端滑出，相對(duì)車先做勻加速運(yùn)動(dòng)，
再做勻減速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)車右端時(shí)，與車達(dá)共同速度．根據(jù)根據(jù)牛頓第二定律和幾何關(guān)系求解．

解答 解：（1）由動(dòng)量守恒定律得：
Mv₀=（M+m）v
   解得v=$\frac{{Mv}_{0}}{m+M}$=$\frac{3×4}{1+3}$=3m/s；
（2）根據(jù)牛頓第二定律，滑塊相對(duì)車滑動(dòng)時(shí)的加速度a=μg       
滑塊相對(duì)車滑動(dòng)的時(shí)間 t=$\frac{{v}_{0}}{a}$                                                
滑塊相對(duì)車滑動(dòng)的距離△x=v₀t-$\frac{{v}_{0}t}{2}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$                       
滑塊與車因摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能  Q=μmg△x=$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}×1×16$=8J      
（3）F取6N；設(shè)恒力F取最小值為F₁，滑塊加速度為a₁，此時(shí)滑塊恰好到達(dá)車的左端，則
滑塊運(yùn)動(dòng)到車左端的時(shí)間  t₁=$\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}}$①
由幾何關(guān)系有  v₀t₁-$\frac{{{v}_{0}t}_{1}}{2}$=$\frac{L}{2}$②
由牛頓定律有 F₁+μmg=ma₁③
由①②③式代入數(shù)據(jù)解得  t₁=0.5s，F(xiàn)₁=6N
則恒力F大小應(yīng)該滿足條件是  F≥6N
因此F=6N小滑塊恰好不會(huì)掉下來．
當(dāng)滑塊運(yùn)動(dòng)到車左端后，為使滑塊恰不從右端滑出，相對(duì)車先做勻加速運(yùn)動(dòng)（設(shè)運(yùn)動(dòng)加速度為a₂，時(shí)間為t₂），再做勻減速運(yùn)動(dòng)（設(shè)運(yùn)動(dòng)加速度大小為a₃）．到達(dá)車右端時(shí)，與車達(dá)共同速度．則有
F₁-μmg=ma₂                                                  
μmg=ma₃                                         
$\frac{1}{2}$a₂t₂²+$\frac{{a}_{2}^{2}{t}_{2}^{2}}{2{a}_{3}}$=L                                          
代入數(shù)據(jù)解得t₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$≈0.58s；                          
則力F的作用時(shí)間t應(yīng)滿足  t₁≤t≤t₁+t₂，即0.5s≤t≤1.08s 
答：（1）小滑塊相對(duì)于平板車靜止時(shí)的速度為3m/s
（2）摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能為8J；
（3）力F的作用時(shí)間應(yīng)該在0.5s≤t≤1.08s．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的正確判斷，物體從端不滑下的前提是車的位移-物體的位移小于車身長度的一半，物體不從右端滑出，物體在力F作用下加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)撤去F后，物體在滑動(dòng)摩擦力作用下做減速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度與車相同時(shí)，注意車和物體的位移關(guān)系．