Question

16．宇航員在某星球上做了以下實(shí)驗(yàn)：將一小球從水平地面以30°角斜向上拋出，拋出時(shí)速度大小為v₀，經(jīng)t時(shí)間落回水平面，忽略空氣阻力和星球自轉(zhuǎn)的影響，已知引力常量為G，星球半徑為R．求：
（1）該星球的質(zhì)量；
（2）在該星球表面要成功發(fā)射一顆衛(wèi)星的最小發(fā)射速度v．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解求出星球表面重力加速度．忽略星球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力列出等式求解星球的質(zhì)量M．
（2）該星球的近地衛(wèi)星的向心力由萬(wàn)有引力提供，該星球表面物體所受重力等于萬(wàn)有引力，聯(lián)立方程即可求出該星球的第一宇宙速度υ；

解答 解：（1）設(shè)星球表面重力加速度為g，將初速度分解如圖：

${v}_{y}^{\;}={v}_{0}^{\;}sin30°=\frac{{v}_{0}^{\;}}{2}$
由經(jīng)過(guò)時(shí)間t落回地面．則有：
${v}_{y}^{\;}=g\frac{t}{2}$      
得：$g=\frac{{v}_{0}^{\;}}{t}$
對(duì)小球由$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
得：$M=\frac{{v}_{0}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{Gt}$
（2）設(shè)最小發(fā)射速度為v．則有：
$mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得：$v=\sqrt{\frac{{v}_{0}^{\;}R}{t}}$
答：（1）該星球的質(zhì)量$\frac{{v}_{0}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{Gt}$；
（2）在該星球表面要成功發(fā)射一顆衛(wèi)星的最小發(fā)射速度v為$\sqrt{\frac{{v}_{0}^{\;}R}{t}}$．

點(diǎn)評(píng) 重力加速度g是天體運(yùn)動(dòng)研究和天體表面宏觀物體運(yùn)動(dòng)研究聯(lián)系的物理量．本題要求學(xué)生掌握兩種等式：一是物體所受重力等于其吸引力；二是物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)其向心力由引力提供