Question

13．如圖，足夠長(zhǎng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌電阻不計(jì)，間距L=1m，與水平成成θ=37°角傾斜放置，導(dǎo)軌上端連有阻值R=2Ω的電阻，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于導(dǎo)軌平面．現(xiàn)有質(zhì)量m=1kg、電阻r=3Ω的金屬棒，從導(dǎo)軌上x(chóng)=0處以初速度v₀=10m/s沿導(dǎo)軌向上運(yùn)動(dòng)，對(duì)金屬棒施加一個(gè)平行于導(dǎo)軌平面向上做勻減速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，每1s內(nèi)在電阻R上的電壓變化總是2V，已知g=10m/s²，sin37°=0.6．求
（1）電路中電流的最大值；
（2）從開(kāi)始到運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)的過(guò)程中，金屬棒的機(jī)械能變化量
（3）外力F隨金屬棒在導(dǎo)軌上的位置x變化的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）金屬棒做勻減速運(yùn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)速度最大，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大，感應(yīng)電流也最大．由公式E=BLv和歐姆定律結(jié)合求解．
（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律得到電阻R兩端電壓與速度v的關(guān)系式，結(jié)合題中的條件求出加速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出棒上滑的位移，再由能量守恒求解．
（3）由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律結(jié)合得到安培力的表達(dá)式，再由牛頓第二定律求解

解答 （1）金屬棒速度最大時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E最大，電流I最大，有：
E_m=BLV₀…①
${I}_{m}=\frac{{E}_{m}}{R+r}$…②
所以　I_m=2A…③
（2）設(shè)棒運(yùn)動(dòng)速度為v時(shí)，棒上感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLV…④
由閉合電路歐姆定律得 E=I（R+r）…⑤
設(shè)電阻R兩端電壓為U，由歐姆定律得
U=IR…⑥
故$\frac{△U}{△t}=\frac{BLR}{R+r}\frac{△V}{△t}$…⑦
又因?yàn)榻饘侔暨\(yùn)動(dòng)加速度大小a=$\frac{△V}{△t}$…⑧
所以a=5m/s²…⑨
由${V}_{0}^{2}=2aS$…⑩
得：S=10m…（11）
金屬棒的重力勢(shì)能增加量為△E_P=mgsinθ=60J…（12）
所以機(jī)械能改變量為 $△E=△{E}_{P}-\frac{1}{2}m{V}_{0}^{2}$=10J…（13）
即機(jī)械能增加了10J…（14）
（3）設(shè)金屬桿到達(dá)位置x處時(shí)，速度的大小為v則
${V}^{2}-{V}_{0}^{2}=-2ax$…（15）
金屬棒受到的安培力F_L=BIL…（16）
由牛頓第二定律：F_L+mgsinθ-F=ma…（17）
聯(lián)立④⑤⑮⑯⑰，得
F=$1+\sqrt{4-0.4x}$（N）…（18）
答：（1）電路中電流的最大值2A；
（2）從開(kāi)始到運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)的過(guò)程中，金屬棒的機(jī)械能增加了10J
（3）外力F隨金屬棒在導(dǎo)軌上的位置x變化的函數(shù)表達(dá)式F=$1+\sqrt{4-0.4x}$

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)中的力學(xué)問(wèn)題，關(guān)鍵要熟練推導(dǎo)出安培力與速度的關(guān)系，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律研究速度和位移，要能正確把握能量轉(zhuǎn)化的情況