Question

13．如圖所示，一質量不計的細線跨過無摩擦的輕質小定滑輪O，一端與質量為m的重物相連，圓環(huán)套在固定的、光滑的豎直桿上，另一端與質量為4m的重物相連，豎直桿上有A、B、C三點，且B為A、C的中點，AO與豎直桿的夾角θ=53°，B點與滑輪O在同一水平線上，滑輪與豎直桿相距為L，重力加速度為g，設直桿和細線都足夠長，圓環(huán)和重物運動過程中不會與其他物體相碰，現(xiàn)將圓環(huán)從A點無初速釋放（已知sin53°=0.8，cos53°=0.6），求：
（1）重物下降到最低點時圓環(huán)的速度大小v₁為多少？
（2）圓環(huán)下滑到C點時的速度大小v₁為多少？

Answer 1

分析 （1）當圓環(huán)運動到B點時，重物下降到最低點位置，則取環(huán)與重物作為系統(tǒng)，由于只有重力做功，所以系統(tǒng)的機械能守恒，因此根據(jù)機械能守恒定律可解出圓環(huán)的速度大小；
當圓環(huán)下滑到最大距離時，圓環(huán)與重物的速度均為零，再由機械能守恒定律，結合幾何關系可求出圓環(huán)下滑的最大距離；
（3）圓環(huán)下滑到C點時，根據(jù)幾何關系來確定變化的高度，再由機械能守恒定律，并結合運動的分解來確定圓環(huán)下滑到C點時的速度大小．

解答 解：（1）圓環(huán)到B點時，重物下降到最低點，此時重物速度為零．
根據(jù)幾何關系可知：圓環(huán)下降高度為：h_AC=$\frac{3}{4}$L，
重物下降的高度為：△h=$\frac{5}{4}$L-L=$\frac{1}{4}$L
系統(tǒng)只有重力做功，所以系統(tǒng)機械能守恒，則有：mgh_AC+4mg△h=$\frac{1}{2}$mv₁²
由上可解得：圓環(huán)的速度為：v₁=$\sqrt{\frac{7gL}{2}}$，
（2）圓環(huán)到C點時，下落高度h_AB=$\frac{3L}{2}$，重物高度不變，設圓環(huán)速度為v₂，此時重物速度為v₂cos53°．
系統(tǒng)機械能守恒，則有：mgh_AB=$\frac{1}{2}$mv₂²+$\frac{1}{2}$×4m（v₂cos53°）²
解得：v₂=$\sqrt{\frac{75gL}{61}}$，
答：（1）重物下降到最低點時圓環(huán)的速度大小是$\sqrt{\frac{7gL}{2}}$
（2）圓環(huán)下滑到C點時的速度大小v₁為$\sqrt{\frac{75gL}{61}}$．

點評 本題多次運用幾何關系及機械能守恒定律，定律的表達式除題中變化的動能等于變化的重力勢能外，還可以寫成圓環(huán)的變化的機械能等于重物的變化的機械能．同時關注題中隱含條件的挖掘：重物下降到最低點的同時其速度等于零．