Question

6．如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy的一、四象限區(qū)域內(nèi)存在兩個(gè)有界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)I垂直紙面向外、磁場(chǎng)Ⅱ垂直紙面向里．O、M、P、Q為磁場(chǎng)邊界與x軸的交點(diǎn)，且OM=MP=L．在第三象限存在沿y軸正向的勻強(qiáng)電場(chǎng)．一質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電粒子從電場(chǎng)中坐標(biāo)為（-2L，-y）的A點(diǎn)以速度v₀沿x軸正方向射出，恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O處以45°角射入磁場(chǎng)Ⅰ，又從M點(diǎn)射出磁場(chǎng)Ⅰ（粒子的重力忽略不計(jì)）．求：
（1）A點(diǎn)的縱坐標(biāo)值y及電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E的大小；
（2）磁場(chǎng)Ⅰ的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大��；
（3）如果帶電粒子能再次回到原點(diǎn)O，問(wèn)磁場(chǎng)Ⅱ的寬度至少為多少？粒子兩次經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的時(shí)間間隔為多長(zhǎng)？

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解y和場(chǎng)強(qiáng)E的大�。�
（2）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后，由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．由題意，粒子經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O處射入?yún)^(qū)域I又從M點(diǎn)射出區(qū)域I，畫(huà)出軌跡，由幾何知識(shí)求出軌跡半徑，由牛頓第二定律即可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�
（3）當(dāng)帶電粒子恰好能再次回到原點(diǎn)O，在磁場(chǎng)Ⅱ中軌跡恰好與其右邊界相切，畫(huà)出軌跡，由幾何關(guān)系即可求出磁場(chǎng)的寬度．分段求出時(shí)間，即可求得總時(shí)間

解答 解：（1）帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)帶電粒子經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)豎直分速度大小為v_y，據(jù)題粒子經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O處以45°角射入磁場(chǎng)，由速度分解可知：v_y=v₀．則有
水平方向：2L=v₀t
豎直方向：y=$\frac{{v}_{y}}{2}t$
解得：y=L
由 y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{qE{t}^{2}}{2m}$
聯(lián)立解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qL}$
（2）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度大小為：v=$\sqrt{2}{v}_{0}$，方向與x軸正向成45°．
粒子進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅰ做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何知識(shí)可得軌跡半徑為：
R₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$L
由洛倫茲力充當(dāng)向心力，則有：Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$
可解得：B=$\frac{mv}{q{R}_{1}}$=$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$
（3）粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖．
在區(qū)域Ⅱ做勻速圓周的半徑為：R₂=$\sqrt{2}$L
帶電粒子能再次回到原點(diǎn)的條件是區(qū)域Ⅱ的寬度為：d≥R₂+L=（$\sqrt{2}$+1）L
粒子從O到M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t₁=$\frac{\frac{π}{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}L}{\sqrt{2}{v}_{0}}$=$\frac{πL}{4{v}_{0}}$
粒子從M到N的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t₂=$\frac{\sqrt{2}L}{\sqrt{2}{v}_{0}}$=$\frac{L}{{v}_{0}}$
粒子在區(qū)域Ⅱ中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t₃=$\frac{\frac{3}{2}π•\sqrt{2}L}{\sqrt{2}{v}_{0}}$=$\frac{3πL}{2{v}_{0}}$
粒子兩次經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的時(shí)間間隔為：t_總=2（t₁+t₂）+t₃=$\frac{2（1+π）L}{{v}_{0}}$
答：（1）A點(diǎn)的縱坐標(biāo)值y為L(zhǎng)，電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E的大小為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qL}$；
（2）磁場(chǎng)Ⅰ的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$；
（3）如果帶電粒子能再次回到原點(diǎn)O，問(wèn)磁場(chǎng)Ⅱ的寬度至少為（$\sqrt{2}$+1）L，粒子兩次經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的時(shí)間間隔為$\frac{2（1+π）L}{{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，充分運(yùn)用幾何關(guān)系求解軌跡半徑是關(guān)鍵．在電場(chǎng)中經(jīng)熟練運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法和類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解．