Question

（2013?南昌二模）如圖所示，OP₁Q₁與OP₂Q₂是位于同一水平面上的兩根金屬導(dǎo)軌，處在沿豎直方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，長(zhǎng)度相等的導(dǎo)軌OP₁段與OP₂段相互垂直，交于O點(diǎn)．導(dǎo)軌的P₁Q₁與P₂Q₂段相互平行，相距為2b．一根質(zhì)量為m的金屬細(xì)桿，在t=0s時(shí)從O點(diǎn)出發(fā)，在外力作用下以恒定的速度v沿導(dǎo)軌向右滑動(dòng)．在滑動(dòng)的過(guò)程中，桿速度的方向始終保持與導(dǎo)軌的平行段相平行，且與OP₁成45°夾角，桿與導(dǎo)軌有良好的接觸．假定導(dǎo)軌與金屬桿都有電阻，且每單位長(zhǎng)度的電阻都是r．不計(jì)金屬細(xì)桿與軌道之間的摩擦．
（1）金屬桿在正交的OP₁、OP₂導(dǎo)軌上滑動(dòng)時(shí)，通過(guò)金屬桿中的電流多大？
（2）從開始運(yùn)動(dòng)到t=

b

v

過(guò)程中，外力一共做了多少的功？
（3）若控制外力，使金屬桿從靜止開始作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小為a，試寫出外力隨時(shí)間變化的規(guī)律．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)切割求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的表達(dá)式，通過(guò)回路的長(zhǎng)度求出回路的電阻，再通過(guò)歐姆定律求出感應(yīng)到電流的大小．
（2）從開始運(yùn)動(dòng)到t=

b

v

過(guò)程中，因?yàn)閷?dǎo)體棒的有效長(zhǎng)度均勻增加，電流不變，則安培力均勻增大，求出這段過(guò)程中的平均安培力，抓住安培力做的功等于外力做的功求出外力做功的大�。�
（3）分兩種情況討論，一種是在位移0-b內(nèi)，一種是位移大于b后，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，結(jié)合切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和閉合電路歐姆定律求出外力隨時(shí)間變化的規(guī)律．

解答：解：（1）切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLV，回路中的電阻R=（2

2

vt+2vt）r，
根據(jù)歐姆定律得：
I₁=

BLv

R

=

B?2Vt?V

(2 2 vt+2vt)r

=

Bv

( 2 +1)r

（2）根據(jù)動(dòng)能定理得：W_F-W_A=0
W_F=W_A=

0+FAmax

2

?b=

1

2

B

Bv

( 2 +1)r

2b?b=

B2vb2

( 2 +1)r

．
（3）分兩段討論：
①0≤t≤

2b a

S=

1

2

at²，V=at，I₁=

Bat

( 2 +1)r

．
F₁-BI₁?2S=ma
F₁=ma+

B2a2t3

( 2 +1)r

．
②t＞

2b a

R=[2

2

b+2（x-b）+2b]r=（2

2

b+at²）r
I₂=

B?2b?at

R

=

2abBt

(2 2 b+at2)r

F₂=ma+

4ab2B2t

(2 2 b+at2)r

答：（1）金屬桿在正交的OP₁、OP₂導(dǎo)軌上滑動(dòng)時(shí)，通過(guò)金屬桿中的電流為

Bv

( 2 +1)r

．
（2）從開始運(yùn)動(dòng)到t=

b

v

過(guò)程中，外力一共做了

B2vb2

( 2 +1)r

的功．
（3）當(dāng)0≤t≤

2b a

，F(xiàn)₁=ma+

B2a2t3

( 2 +1)r

；當(dāng)t＞

2b a

時(shí)，F(xiàn)₂=ma+

4ab2B2t

(2 2 b+at2)r

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)、閉合電路歐姆定律、牛頓第二定律等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，注意需區(qū)別導(dǎo)體棒位移0-b內(nèi)以及位移大于b兩種情況．