Question

16．已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g₀，不考慮地球自轉(zhuǎn)的 影響并假設地球質(zhì)量分布均勻且密度為ρ₀．假若在地球內(nèi)部距表面深度為h的某區(qū)域存在一半徑為r的球形煤炭礦區(qū)，設煤炭密度為ρ（小于ρ₀），則由于該煤炭礦區(qū)區(qū)域的存在，造成的地球該區(qū)域表面重力加速度的變化量的最大值是多少．

Answer 1

分析 把地球看成由兩部分組成即半徑為r的球體和剩余部分組成，物體在地球表面的重力等于半徑為r的球體對物體引力和剩余部分對物體引力之和，通過密度的不同，得出重力加速度的變化量的最大值．

解答 解：根據(jù)題意把地球看成由兩部分組成即半徑為r的球體和剩余部分，則有：
$m{g}_{0}=F+G\frac{{M}_{1}m}{（h+r）^{2}}$，
式中F為地球剩余部分對m的作用力，M₁為半徑為r的球體質(zhì)量，應有：
${M}_{1}=\frac{4}{3}π{r}^{3}{ρ}_{0}$，
同理當半徑為r的球體空間存在密度為ρ的煤炭時應有：
$mg=F+G\frac{m{M}_{2}}{（h+r）^{2}}$，
${M}_{2}=\frac{4}{3}π{r}^{3}ρ$，
聯(lián)立解得△g=$\frac{4πG{r}^{3}}{3（r+h）^{2}}（{ρ}_{0}-ρ）$．
答：造成的地球該區(qū)域表面重力加速度的變化量的最大值是$\frac{4πG{r}^{3}}{3（r+h）^{2}}（{ρ}_{0}-ρ）$．

點評 解決本題的關鍵能夠正確地建立物理模型，將物體在地球表面的重力等于半徑為r的球體對物體引力和剩余部分對物體引力之和，結(jié)合密度公式以及密度的差異進行求解．