Question

如圖a所示的平面坐標(biāo)系xOy，在整個(gè)區(qū)域內(nèi)充滿了勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直坐標(biāo)平面，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間變化的關(guān)系如圖b所示，開始時(shí)刻，磁場方向垂直紙面向內(nèi).t=0時(shí)刻，有一帶正電的粒子(不計(jì)重力)從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿x軸正向進(jìn)入磁場，初速度為v₀=2×10³m/s.已知正粒子的荷質(zhì)比為1.0×10⁴C/kg，其他有關(guān)數(shù)據(jù)見圖中標(biāo)示.試求：

圖16

(1)t=×10^-4s時(shí)刻，粒子的坐標(biāo)；

(2)粒子從開始時(shí)刻起經(jīng)多長時(shí)間到達(dá)y軸；

(3)粒子是否還可以返回原點(diǎn)？如果可以，則經(jīng)多長時(shí)間返回原點(diǎn)?

Answer 1

(1)粒子進(jìn)入磁場后在磁場中做圓周運(yùn)動，設(shè)半徑為R，周期為T，由洛倫茲力提供向心力，有

qvB=m，得：R=m=0.4m

又T=s=4π×10^-4s

在磁場變化的第一段時(shí)間內(nèi)，粒子運(yùn)動的周期數(shù)為：

N=(個(gè)運(yùn)動周期)

運(yùn)動軌跡對應(yīng)的圓心角為120°作出粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡如圖a所示.第一段時(shí)間末，粒子的坐標(biāo)為：x=Rcos30°=m，

y=R+sin30°=0.6m

所求時(shí)刻，粒子的坐標(biāo)(，0.6).

第16題圖

(2)根據(jù)第(1)問可知，粒子在第一個(gè)磁場變化的時(shí)間段內(nèi)時(shí)，運(yùn)動了N₁=個(gè)周期，在第二個(gè)時(shí)間段內(nèi)運(yùn)動的周期數(shù)為N₂=(個(gè)周期)

所對應(yīng)的運(yùn)動軌跡圓心角為60°

第三個(gè)時(shí)間段內(nèi)同樣運(yùn)動了：N₃=(個(gè)周期)，

對應(yīng)的圓心角為120°.

粒子運(yùn)動的軌跡如圖a所示，粒子恰好在第三段時(shí)間末通過y軸.

故運(yùn)動時(shí)間為t=×10-4s

第16題圖

(3)粒子在磁場中做周期性運(yùn)動，根據(jù)對稱性和周期性，畫出粒子的部分運(yùn)動軌跡如圖，b所示其中O₂、O₆、O₁₀構(gòu)成一個(gè)正三邊形.故粒子在磁場中一共運(yùn)動了6個(gè)大圓弧和3個(gè)小圓弧，故從原點(diǎn)出發(fā)到回到原點(diǎn)的總時(shí)間為

t′=6××10^-4s+3××10^-4s=10π×10^-4s.