Question

7．在豎直面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，曲線y=$\frac{{x}^{2}}{20}$位于第一象限的部分如圖，在曲線上不同點(diǎn)以初速度v₀向x軸負(fù)方向水平拋出質(zhì)量為m，帶電量為+q的小球，小球下落過程中都會(huì)通過坐標(biāo)原點(diǎn)，之后進(jìn)入第三象限的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=$\sqrt{\frac{π}{10}}$T，方向垂直紙面向里，小球恰好做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，并在做圓周運(yùn)動(dòng)的過程中都能打到y(tǒng)軸負(fù)半軸上（已知重力加速度為g=10m/s²、$\frac{q}{m}$=10²C/kg）．求：
（1）第三象限的電場(chǎng)強(qiáng)度大小及方向；
（2）沿水平方向拋出的初速度v₀；
（3）為使所有的小球都打到y(tǒng)軸負(fù)半軸，所加磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析 （1）小球在第三象限做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，說明受到的合外力提供向心加速度，即洛倫茲力提供向心加速度，由此即可得出電場(chǎng)力與重力大小相等方向相反；
（2）小球在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以求出小球的速度；
（3）分析小球在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的可能的情況，結(jié)合矢量的分解的方法，求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與初速度、末速度的關(guān)系，得出半徑與偏轉(zhuǎn)距離的關(guān)系，從而得出磁場(chǎng)的長(zhǎng)度和寬度，即可求出磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積．

解答 解：（1）小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，重力與電場(chǎng)力合力為零，即mg=qE，
解得：E=$\frac{mg}{q}$=$\frac{10}{1{0}^{2}}$=0.1N/C，方向：豎直向上；
（2）小球在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，
水平方向：x=v₀t，
豎直方向：y=$\frac{1}{2}$gt²=$\frac{g}{2{v}_{0}^{2}}$x²，
由題意可知：y=$\frac{{x}^{2}}{20}$，
解得：v₀=10m/s；
（3）設(shè)小球進(jìn)入第三象限時(shí)的速度為v，與x軸負(fù)方向夾角為α，則：v₀=vcosα，
小球在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{mv}{qB}$，
小球打在y軸的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離：H=2rcosα=$\frac{2mv}{qB}$，
所有小球均從y軸負(fù)半軸上同一點(diǎn)進(jìn)入第四象限，
最小磁場(chǎng)區(qū)域?yàn)橐话霃綖镽=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$的半圓，
磁場(chǎng)面積：S=$\frac{π{R}^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$π$（\frac{m{v}_{0}}{qB}）^{2}$，
解得，磁場(chǎng)最小面積：S=0.5m²；
答：（1）第三象限的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為：0.1N/C，方向：豎直向上；
（2）沿水平方向拋出的初速度v₀為10m/s；
（3）為使所有的小球都打到y(tǒng)軸負(fù)半軸，所加磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積為0.5m²．

點(diǎn)評(píng) 該題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，粒子的入射點(diǎn)不同，則進(jìn)入磁場(chǎng)的方向與大小都不同，解答的關(guān)鍵就是要通過分析，得出所有的點(diǎn)都從同一點(diǎn)射出，才能順利找出磁場(chǎng)的最小區(qū)域的邊界．