Question

11．如圖：平面直角坐標(biāo)系xOy，在-10cm≤y≤0區(qū)域內(nèi)有沿y軸正向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)E=1×10⁵N/C；在0≤y≤10cm區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=$\frac{\sqrt{2}}{5}$T．在y軸上Q（0，-10cm）點(diǎn)有粒子源，能同時(shí)沿0°～180°各個(gè)反向均勻地向電場(chǎng)中發(fā)射比荷$\frac{q}{m}$=5×10⁷c/kg的帶正電粒子，它們的初速度大小均為v₀=1×10⁶m/s．不計(jì)粒子所受重力．試求；
（1）粒子第一次到達(dá)x軸上的范圍；
（2）第一次到達(dá)x軸的粒子中哪個(gè)范圍內(nèi)的粒子能從磁場(chǎng)上邊界射出；
（3）能從磁場(chǎng)上邊界射出的粒子中，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值．（取π≈3，結(jié)果保留一位有效數(shù)字）

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，當(dāng)粒子沿x軸正負(fù)方向射出時(shí)，到達(dá)距離最遠(yuǎn)．先求出粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，根據(jù)粒子在水平方向做勻速運(yùn)動(dòng)，求出最遠(yuǎn)距離；
（2）通過(guò)作圖求出粒子在磁場(chǎng)中做運(yùn)動(dòng)時(shí)恰好沒(méi)射出的臨界值，求出粒子能從磁場(chǎng)上邊界射出的范圍；
（3）由于粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的末速度相同，所以在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)越短，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越短．又根據(jù)幾何知識(shí)可知同圓弦長(zhǎng)越短弧長(zhǎng)越短，找到最短的弦，推導(dǎo)出圓心角，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值．

解答 解：（1）帶點(diǎn)粒子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)
x=v₀t
$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
在電場(chǎng)中qE=ma
解得x=0.2m=20cm
帶電粒子第一次到達(dá)x軸上的范圍：-20cm≤x≤20cm．
（2）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)
帶電粒子在電場(chǎng)中加速，設(shè)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度為v，由動(dòng)能定理
$Eqy=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}$²
$v=\sqrt{2}×1{0}^{6}m/s$
帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為r
$qBv=m\frac{{v}^{2}}{r}$
r=0.1m
由此由幾何關(guān)系可知，沿y軸向上運(yùn)動(dòng)的帶電粒子運(yùn)動(dòng)恰好與磁場(chǎng)上邊界相切，沒(méi)有離開(kāi)磁場(chǎng)，經(jīng)過(guò)x軸負(fù)方向的帶電粒子均不能從磁場(chǎng)上邊界射出，
只有在x軸上0＜x≤20cm內(nèi)的粒子能從磁場(chǎng)上邊界射出
（3）粒子在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的弦最短時(shí)的時(shí)間最短，即為0.1m，此時(shí)速度方向與x軸正方向夾角為60°
周期$T=\frac{2πr}{v}$
最短時(shí)間t_min=T/6
${t}_{min}=7×1{0}^{-8}s$
答：（1）粒子第一次到達(dá)x軸上的范圍為-20cm≤x≤20cm．；
（2）第一次到達(dá)x軸的粒子中在x軸上0＜x≤20cm內(nèi)的粒子能從磁場(chǎng)上邊界射出；
（3）能從磁場(chǎng)上邊界射出的粒子中，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值為7×10-⁸s．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，首先考生需要熟練掌握平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的基本公式，畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，找到臨界條件，難度較大．