Question

7．如圖所示，在半徑為R的圓形區(qū)域內有垂直于紙面向外的勻強磁場B．在圓形磁場區(qū)域右側距離磁場邊界R處有一豎直感光板MQN，在圓形磁場區(qū)域上邊界處有一可轉動的平行板電容器和電子發(fā)射裝置S，電子發(fā)射裝置能不斷地產生初速不計．質量m，電量為e的電子，兩板間所加電壓滿足U=$\frac{{R}^{2}{B}^{2}e}{2m}$．若不計電子所受重力和電子間的相互影響，且電子發(fā)射裝置連同電容器一起向左向右都能擺動θ角，電子仍可從P點射入．
（1）若發(fā)射裝置不擺動對準圓心射入，求電子的磁場中的運動時間；
（2）若發(fā)射裝置擺動，求電子打的感光板的最大范圍；
（3）求電子打在感光板上時電子運動的最長和最短時間之差．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理列式求解速度；根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出電子在磁場中運動的軌道半徑；從而根據(jù)幾何關系求出圓弧的圓心角大小，通過弧長和速度求出在磁場中運動的時間．
（2）電子的軌道半徑為R，則軌跡圓的圓心、磁場區(qū)域圓的圓心、兩個圓的兩個交點構成菱形，則所有的電子離開磁場時速度方向水平向右，結合幾何關系得到電子打的感光板的最大范圍；
（3）考慮臨界情況：電子初速度水平向右時，到達光屏時間最短；電子初速度水平向左時，到達光屏時間最長（可以考慮速度略微偏下一點）．

解答 解：（1）對加速過程，根據(jù)動能定理，有：eU=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
根據(jù)題意，有：U=$\frac{{R}^{2}{B}^{2}e}{2m}$
聯(lián)立解得：${v}_{0}=\frac{RBe}{m}$
設帶電粒子進入磁場中做勻速圓周運動的軌道半徑為r，由牛頓第二定律得：ev₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$
帶電粒子在磁場中的運動軌跡為四分之一圓周，軌跡對應的圓心角為$\frac{π}{2}$，如圖所示：

r=R
則：t=$\frac{\frac{π}{2}R}{{v}_{0}}$=$\frac{πm}{2eB}$
（2）電子的軌道半徑為R，則軌跡圓的圓心、磁場區(qū)域圓的圓心、兩個圓的兩個交點構成菱形，如圖所示：

則所有的電子離開磁場時速度方向水平向右，故電子打的感光板的最大范圍為2R；
（3）電子初速度水平向右時，到達光屏時間最短，為：t_min=$\frac{PM}{{v}_{0}}$
電子初速度水平向左時，到達光屏時間最長，為：t_max=$\frac{T}{2}$+$\frac{PM}{{v}_{0}}$
故最長和最短時間之差為：△t=$\frac{T}{2}$=$\frac{πm}{eB}$；
答：（1）若發(fā)射裝置不擺動對準圓心射入，電子的磁場中的運動時間為$\frac{πm}{2eB}$；
（2）若發(fā)射裝置擺動，求電子打的感光板的最大范圍為2R；
（3）求電子打在感光板上時電子運動的最長和最短時間之差為$\frac{πm}{eB}$．

點評 本題考查帶電粒子在磁場中的運動，關鍵是畫出軌跡，確定臨界軌跡；本題對數(shù)學幾何能力要求較高，需加強這方面的訓練．