Question

3．一個粗細均勻的矩形線框，長、寬分別為2l和l，線框的電阻為r，在紙面內有垂直紙面向里的有界磁場，磁感應強度為B，線框左側的四分之一位于磁場中，線框可繞位于磁場邊界的軸OO′轉動，現(xiàn)使線框以角速ω繞OO′勻速轉動，則線框產生的電功率為（　　）

• A． $\frac{3{B}^{2}{l}^{4}{ω}^{2}}{2r}$
• B． $\frac{3{B}^{2}{l}^{4}{ω}^{2}}{4r}$
• C． $\frac{5{B}^{2}{l}^{4}{ω}^{2}}{8r}$
• D． $\frac{5{B}^{2}{l}^{4}{ω}^{2}}{4r}$

Answer 1

分析 根據切割產生的感應電動勢公式得出切割的最大值，從而得出不同時間段內產生的正弦式交流電電流隨時間的變化規(guī)律，根據右手定則或楞次定律得出感應電流的方向，作出對應的圖線．結合有效值的定義式求出該電流的有效值即可求得產生的電功率．

解答 解：（1）從圖示位置開始計時，在0-$\frac{T}{4}$的時間內，線圈產生正弦交流電，表達式為：e=$\frac{1}{2}$Bl²ωsinωt，
電流為：$i=\frac{e}{r}=\frac{B{l}^{2}ωsinωt}{2r}$，
從0變?yōu)?\frac{B{l}^{2}ωsinωt}{2r}$，在$\frac{T}{4}-\frac{3T}{4}$時間內，線圈的aMNb部分進入磁場，切割磁感線產生電流，相當于電源，電動勢從最大值減小到零，再從零增加到最大值，電流仍是正弦式交流電，最大值為${E}_{m}=\frac{3}{2}B{l}^{2}ω$，
最大電流為：${I}_{m}=\frac{{E}_{m}}{R}=\frac{3B{l}^{2}ω}{2r}$，
在$\frac{3T}{4}$-T時間內，切割磁感線產生電流，電流由最大$\frac{B{l}^{2}ω}{2r}$到零，按正弦函數規(guī)律變化． 
在一個周期內可分為兩部分，有半個周期內的電流最大值為$\frac{B{l}^{2}ω}{2r}$，另外半個周期內的最大值為$\frac{3B{l}^{2}ω}{2r}$，
根據有效值的定義知：$（\frac{B{l}^{2}ω}{2\sqrt{2}r}）^{2}r•\frac{T}{2}+（\frac{3B{l}^{2}ω}{2\sqrt{2}r}）^{2}r•\frac{T}{2}$=I²rT．
解得電流的有效值為：I=$\frac{\sqrt{10}B{l}^{2}ω}{4r}$
產生的熱功率為P=I²r=$\frac{5{B}^{2}{l}^{4}{ω}^{2}}{8r}$
故選：C

點評 線圈有一部分在磁場中運動，另一部分在磁場外，而且轉軸不在中間，左右不對稱，與那種典型的正弦交流發(fā)電機結構有著明顯的不同，解答此題，也同樣不能直接套用現(xiàn)成的公式，只能從最基本的電磁感應原理出發(fā)進行分析求解．