Question

【題目】在如圖所示xoy坐標(biāo)系第一象限的三角形區(qū)域（坐標(biāo)如圖中所標(biāo)注）內(nèi)有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在x軸下方有沿+y方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E．將一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子（重力不計(jì)）從P（0，﹣a）點(diǎn)由靜止釋放．由于x軸上存在一種特殊物質(zhì)，使粒子每經(jīng)過(guò)一次x軸后速度大小變?yōu)榇┻^(guò)前的倍．

（1）欲使粒子能夠再次經(jīng)過(guò)x軸，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B0最小是多少？

（2）在磁感應(yīng)強(qiáng)度等于第（1）問(wèn)中B0的情況下，求粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；

（3）若磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度變?yōu)榈冢?/span>1）問(wèn)中B0的2倍，求粒子運(yùn)動(dòng)的總路程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）設(shè)粒子到O點(diǎn)時(shí)的速度為v0，由動(dòng)能定理有：

解得：

粒子經(jīng)過(guò)O點(diǎn)后，速度為v1，

如圖甲所示，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后的軌跡圓與磁場(chǎng)邊界相切時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為B0．設(shè)粒子軌道半徑為R1，有：

由：

得：

（2）如圖甲，粒子經(jīng)O1點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)區(qū)域做勻減速運(yùn)動(dòng)，后又加速返回，再次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速率

此時(shí)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑：

其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲所示，此后不再進(jìn)入磁場(chǎng)．由幾何關(guān)系可知，∠MO1′O1=60°
則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：

（3）若B=2B0，粒子的運(yùn)動(dòng)情況如圖乙所示，

粒子經(jīng)過(guò)O點(diǎn)第一次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速率仍為v1，在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑記為R1′，由第（1）問(wèn)可知，，
粒子從O1點(diǎn)穿過(guò)x軸進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)速率為

運(yùn)動(dòng)到P1點(diǎn)后返回，則由動(dòng)能定理：

解得：

當(dāng)粒子第二次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速率：

做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：

粒子從O2點(diǎn)穿過(guò)x軸進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)速率為：

，

運(yùn)動(dòng)到P2點(diǎn)后返回，則由動(dòng)能定理：

解得：

依此類推可知，當(dāng)粒子第n次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，其在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為，再進(jìn)入電場(chǎng)中前進(jìn)的距離

因此，粒子運(yùn)動(dòng)的總路程為