Question

1．如圖所示，有一放射源可以沿軸線ABO方向發(fā)射速度大小不同的粒子，粒子質(zhì)量均為m，帶正電荷q．A、B是不加電壓且處于關(guān)閉狀態(tài)的兩個(gè)閥門(mén)，閥門(mén)后是一對(duì)平行極板，兩極板間距為d，上極板接地，下極板的電勢(shì)隨時(shí)間變化關(guān)系如圖（b）所示．O處是一與軸線垂直的接收屏，以O(shè)為原點(diǎn)，垂直于軸線ABO向上為y軸正方向，不同速度的粒子打在接收屏上對(duì)應(yīng)不同的坐標(biāo)，其余尺寸見(jiàn)圖（a），其中l(wèi)和t均為己知．己知$\frac{{q{U_0}}}{2dm}{t^2}=\frac{1}{8}$d，不計(jì)粒子重力．

（1）某時(shí)刻A、B同時(shí)開(kāi)啟且不再關(guān)閉，有一個(gè)速度為v₀=$\frac{2l}{t}$的粒子恰在此時(shí)通過(guò)A閥門(mén)，以閥門(mén)開(kāi)啟時(shí)刻作為圖（b）中的計(jì)時(shí)零點(diǎn)，試求此粒子打在y軸上的坐標(biāo)位置（用d表示）．
（2）某時(shí)刻A開(kāi)啟，$\frac{t}{2}$后A關(guān)閉，又過(guò)$\frac{t}{2}$后B開(kāi)啟，再過(guò)$\frac{t}{2}$后B也關(guān)閉．求能穿過(guò)閥門(mén)B的粒子的最大速度和最小速度．
（3）在第二問(wèn)中，若以B開(kāi)啟時(shí)刻作為圖（b）中的計(jì)時(shí)零點(diǎn)，試求解上述兩類(lèi)粒子打到接收屏上的y坐標(biāo)（用d表示）．

Answer 1

分析 （1）據(jù)題，A、B間不加電壓，粒子在AB間做勻速直線運(yùn)動(dòng)．粒子進(jìn)入平行極板后做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，將其運(yùn)動(dòng)進(jìn)行正交分解，由水平方向的勻速運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出粒子通過(guò)電場(chǎng)的時(shí)間，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式彁求出粒子在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)距離和偏轉(zhuǎn)角度．粒子離開(kāi)電場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由數(shù)學(xué)知識(shí)求解此粒子打在y軸上的坐標(biāo)位置y．
（2）能穿過(guò)閥門(mén)B的最短時(shí)間為$\frac{t}{2}$，對(duì)應(yīng)最大速度v_max=$\frac{l}{{\frac{t}{2}}}$；能穿過(guò)閥門(mén)B的最長(zhǎng)時(shí)間為$\frac{3}{2}$t，對(duì)應(yīng)最小速度 v_min=$\frac{l}{{\frac{3t}{2}}}$．
（3）運(yùn)用第1問(wèn)相似的方法求解兩類(lèi)粒子打到接收屏上的y坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)經(jīng)時(shí)間t₀進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng) t₀=$\frac{2l}{v_0}$=t，
即在t時(shí)刻進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t₁=$\frac{t}{2}$偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中的加速度 a=$\frac{{2q{U_0}}}{dm}$，
離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的偏轉(zhuǎn)距離為 y₁=$\frac{1}{2}at_1^2$，得：y₁=$\fracgp97frk{16}$；
離開(kāi)時(shí)電場(chǎng)的偏轉(zhuǎn)角 tanθ=$\frac{{a{t_1}}}{v_0}$，
從出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)到打到屏上偏轉(zhuǎn)距離 y₂=ltanθ
則 y=y₁+y₂ 得：y=$\frac{3}{16}$d；
（2）能穿過(guò)閥門(mén)B的最短時(shí)間為$\frac{t}{2}$，對(duì)應(yīng)最大速度v_max=$\frac{l}{{\frac{t}{2}}}$=$\frac{2l}{t}$；
能穿過(guò)閥門(mén)B的最長(zhǎng)時(shí)間為$\frac{3}{2}$t，對(duì)應(yīng)最小速度 v_min=$\frac{l}{{\frac{3t}{2}}}$=$\frac{2l}{3t}$；
（3）速度最大的粒子將在0時(shí)刻出閥門(mén)B，$\frac{t}{2}$時(shí)刻進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，
故其偏轉(zhuǎn)距離與第（1）問(wèn)相同，打在y軸上的坐標(biāo)為$\frac{3}{16}$d，
速度最小的粒子將在$\frac{t}{2}$時(shí)刻出閥門(mén)B，2t時(shí)刻進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，
先向下偏轉(zhuǎn)時(shí)間t，a₁=$\frac{{q{U_0}}}{dm}$，
y′₁=$\frac{1}{2}{a_1}{t^2}$，
再向下偏轉(zhuǎn)（減速）$\frac{t}{2}$出電場(chǎng)時(shí)恰好速度水平，
a₂=$\frac{{2q{U_0}}}{dm}$，
則得：y′₂=$\frac{1}{2}{a_2}{（\frac{t}{2}）^2}$
所以可得 y′=y′₁+y′₂=-$\frac{3}{16}$d，即兩個(gè)坐標(biāo)分別為$\frac{3}{16}$d，-$\frac{3}{16}$d；
答：（1）此粒子打在y軸上的坐標(biāo)位置為$\frac{3}{16}$d．
（2）能穿過(guò)閥門(mén)B的粒子的最大速度為$\frac{2l}{t}$，最小速度為$\frac{2l}{3t}$．
（3）上述兩類(lèi)粒子打到接收屏上的y坐標(biāo)為（$\frac{3}{16}$d，-$\frac{3}{16}$d）．

點(diǎn)評(píng) 本題帶電粒子先偏轉(zhuǎn)后勻速的類(lèi)型，關(guān)鍵要分析粒子的運(yùn)動(dòng)情況，對(duì)類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)會(huì)進(jìn)行分解，結(jié)合幾何知識(shí)進(jìn)行求解．