Question

8．小鋼球質(zhì)量為m，由某高處沿光滑的軌道由靜止滑下，軌道形狀如圖所示，與光滑軌道相接的光滑圓形軌道的半徑為R，要使小球沿光滑圓形軌道能通過(guò)最高點(diǎn)且在最高點(diǎn)處小球?qū)�軌道的壓力不超過(guò)小球重力的3倍，則小球初始位置距地面的高度應(yīng)滿(mǎn)足何條件？

Answer 1

分析 使小球能夠通過(guò)圓軌道最高點(diǎn)，那么小球在最高點(diǎn)時(shí)應(yīng)該是恰好是物體的重力作為物體的向心力，由向心力的公式可以求得此時(shí)的最小的速度，由機(jī)械能守恒可以求得高度H的最小值．當(dāng)軌道對(duì)小球的壓力為小球重力的3倍時(shí)，由牛頓第二定律和機(jī)械能守恒結(jié)合，求出H的最大值，即可得解．

解答 解：設(shè)質(zhì)量為m的小球恰能通過(guò)圓軌道最高點(diǎn)時(shí)，此時(shí)速度為v₁，初位置相對(duì)于圓軌道最低部的高度為H₁，由機(jī)械能守恒定律得：
mgH₁=2mgR+$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
小球恰好通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，有：mg=$m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
解得：H=$\frac{5}{2}R$
軌道對(duì)小球的壓力不超過(guò)小球重力的3倍時(shí)，此時(shí)速度為v₂，初位置相對(duì)于圓軌道最低部的高度為H₂，由機(jī)械能守恒定律得：
mgH₂=2mgR+$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$
根據(jù)牛頓第二定律得：mg+N=$m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$
按題的要求，N≤3mg
解得：H≤4R
小球的初位置相對(duì)于圓形軌道底部的高度H的取值范圍是：$\frac{5R}{2}≤H≤4R$．
答：小球初始位置距地面的高度應(yīng)滿(mǎn)足$\frac{5R}{2}≤H≤4R$．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于圓周運(yùn)動(dòng)中繩的模型，在最高點(diǎn)時(shí)應(yīng)該是重力恰好做為圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)中的兩種模型一定要牢牢的掌握�。�