Question

13．如圖所示，在同一水平面上的兩根光滑絕緣軌道，左側間距為2l，右側間距為l，有界勻強磁場僅存在于兩軌道間，磁場的左右邊界（圖中虛線）均與軌道垂直．矩形金屬線框abcd平放在軌道上，ab邊長為l，bc邊長為2l．開始時，bc邊與磁場左邊界的距離為2l，現(xiàn)給金屬線框施加一個水平向右的恒定拉力，金屬線框由靜止開始沿著兩根絕緣軌道向右運動，且bc邊始終與軌道垂直，從bc邊進入磁場直到ad邊進入磁場前，線框做勻速運動，從bc邊進入右側窄磁場區(qū)域直到ad邊完全離開磁場之前，線框又做勻速運動．線框從開始運動到完全離開磁場前的整個過程中產生的熱量為Q．問：
（1）線框ad邊剛離開磁場時的速度大小是bc邊剛進入磁場時的幾倍？
（2）磁場左右邊界間的距離是多少？
（3）線框從開始運動到完全離開磁場前的最大動能是多少？

Answer 1

分析 （1）bc邊剛進入磁場和ad邊剛離開磁場時，線框均做勻速直線運動，即兩個時刻bc邊和ad邊所受的安培力分別等于外力F，結合安培力計算公式F_A=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$，可求得bc邊剛進入磁場時速度v₁和ad邊剛離開磁場時速度v₂之比
（2）當ad邊剛進入磁場到bc邊剛進入右邊窄磁場區(qū)域的過程中線框在外力F的作用下做勻加速度運動，設此段距離為s₁；根據(jù)題意可知，bc剛進入左側寬磁場和右側窄磁場時的速度分別為v₁、v₂，結合運動學公式可算出s₁，又因為bc剛進入右側窄磁場到ad離開磁場的過程中始終做勻速直線運動，故可知右側窄磁場的寬度為l，則左右磁場的寬度為s₁+2l
（3）整個過程中，只有拉力F和安培力對線框做功，線框離開磁場之前，動能最大，設最大動能為E_k，由動能定理：W_F+W_安=E_k-0，由：W_F=F（2l+s+l）=35Fl、W_安=-F×3l 及Q=-W_安，即可計算出安培力所做的功．

解答 解：（1）設磁感強度為B，設線框總電阻為R，線框受的拉力為F，bc邊剛進磁場時的速度為v₁，則感應電動勢為：E₁=2Blv₁
感應電流為：I₁=$\frac{{E}_{1}}{R}$
線框所受安培力為：F₁=2BI₁l
線框做勻速運動，其受力平衡，即：F₁=F
聯(lián)立各式得：${v}_{1}=\frac{FR}{4{B}^{2}{l}^{2}}$
設ad邊離開磁場之前，線框做勻速運動的速度為v₂，同理可得：${v}_{2}=\frac{FR}{{B}^{2}{l}^{2}}$
所以：v₂=4v₁
（2）bc邊進入磁場前，線框做勻加速運動，設加速度為a，bc邊到達磁場左邊界時，線框的速度為：${v}_{1}=\sqrt{2a×2l}=2\sqrt{al}$，
從ad邊進入磁場到bc邊剛好進入右側窄磁場區(qū)域的過程中線框的加速度仍為a，由題意可知bc邊剛進入右側窄磁場區(qū)域時的速度為：v₂=4v₁，
v₂=4v₁=$8\sqrt{al}$從線框全部進入磁場開始，直到bc邊進入右側窄磁場前，線框做勻加速運動，設位移為s₁，${s}_{1}=\frac{{v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}}{2a}$，將${v}_{1}=2\sqrt{al}$，${v}_{2}=8\sqrt{al}$   代入得：s₁=30lm
磁場左右邊界間的距離為：s=l+s₁+l=32lm
（3）整個過程中，只有拉力F和安培力對線框做功，線框離開磁場之前，動能最大，設最大動能為E_k，由動能定理有：W_F+W_安=E_k-0，
由：W_F=F（2l+s+l）=35Fl
W_安=-F×3l 及Q=-W_安，
可知：${W}_{F}=\frac{35}{3}Q$
線框的最大動能為：${E}_{k}=\frac{35}{3}Q-Q=\frac{32}{3}Q$
答：（1）線框ad邊剛離開磁場時的速度大小是bc邊剛進入磁場時速度的4倍
（2）磁場左右邊界間的距離是32l
（3）線框從開始運動到完全離開磁場前的最大動能是$\frac{32}{3}Q$

點評 （1）本題考查了導體棒在場中運動的力學問題和能量問題，涉及的知識點有：導體棒切割磁感線時，感應電動勢、感應電流、安培力的計算，動能定理和運動學公式
（2）計算線框ad邊剛離開磁場時的速度大小與bc邊剛進入磁場時速度的關系時，安培力的計算是關鍵
（3）計算磁場左右邊界的距離時，分析線框的運動過程是關鍵