Question

10．如圖所示，MN與PQ分別為上下正對(duì)著的半圓的直徑，其間距為d=5cm，MN=PQ=40$\sqrt{2}$cm，勻強(qiáng)電場(chǎng)E=2.5×10³N/C，方向向下，上下兩個(gè)半圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向均垂直于紙面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為B₁=0.2T，B₂=0.5T；一比荷為q/m=2×10⁶C/kg的帶正電的粒子（不計(jì)重力）從MN中點(diǎn)O以速率v₀=2×10⁴m/s垂直于MN進(jìn)入磁場(chǎng)B₁，求：
（1）粒子從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)B₁到第一次離開(kāi)磁場(chǎng)B₁所用的時(shí)間；
（2）粒子第一次進(jìn)入磁場(chǎng)B₂做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑；
（3）粒子從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)B₁到最終離開(kāi)磁場(chǎng)區(qū)域所經(jīng)歷的總時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)T=$\frac{2πm}{qB}$求得周期，即可求得時(shí)間；
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求得進(jìn)入磁場(chǎng)B₂速度，利用$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$求得半徑；
（3）打到P點(diǎn)的能量最大的離子加速次數(shù)最大；在電場(chǎng)向上中是勻加速全程根據(jù)動(dòng)量定理求解時(shí)間；

解答 解：（1）粒子在磁場(chǎng)B₁運(yùn)動(dòng)的周期${T}_{1}=\frac{2πm}{q{B}_{1}}=5π×1{0}^{-6}s$
所以從進(jìn)入磁場(chǎng)B₁到第一次離開(kāi)磁場(chǎng)B₁所用時(shí)間：${t}_{1}=\frac{1}{2}{T}_{1}=2.5π×1{0}^{-6}s$
（2）粒子第一次進(jìn)入磁場(chǎng)B₂速度為v，由電場(chǎng)加速有：$qEd=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
解得v=3×10⁴m/s
粒子在磁場(chǎng)B₂中運(yùn)動(dòng)的半徑：${r}_{2}=\frac{mv}{q{B}_{2}}=3cm$
（3）粒子在磁場(chǎng)B₁運(yùn)動(dòng)的半徑：${r}_{1}=\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{1}}=5cm$
粒子在磁場(chǎng)B₂運(yùn)動(dòng)的周期：${T}_{2}=\frac{2πm}{q{B}_{2}}=2π×1{0}^{-6}s$
設(shè)粒子每次通過(guò)電場(chǎng)區(qū)域時(shí)間為t₀，由$d=\frac{1}{2}（{v}_{0}+v）{t}_{0}$
可得：${t}_{0}=2×1{0}^{-6}s$
粒子從O點(diǎn)出發(fā)，每一個(gè)周期向右移動(dòng)2r₁-2r₂=4cm；
經(jīng)過(guò)7個(gè)周期后再經(jīng)過(guò)一段圓弧離開(kāi)磁場(chǎng)區(qū)域，設(shè)這段圓弧的圓心角為θ由幾何關(guān)系：$cosθ=\frac{2{5}^{2}+{5}^{2}-（20\sqrt{2}）^{2}}{2×25×5}=-\frac{3}{5}$
所以：θ=127⁰；
因此粒子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：t總=7（$\frac{{T}_{1}}{2}+{t}_{0}+\frac{{T}_{2}}{2}+{t}_{0}$）$+\frac{127}{360}{T}_{1}$=（$\frac{1764}{72}π+28$）×10^-6s
答：（1）粒子從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)B₁到第一次離開(kāi)磁場(chǎng)B₁所用的時(shí)間為5π×10^-6s；
（2）粒子第一次進(jìn)入磁場(chǎng)B₂做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑3cm；
（3）粒子從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)B₁到最終離開(kāi)磁場(chǎng)區(qū)域所經(jīng)歷的總時(shí)間為（$\frac{1764}{72}π+28$）×10^-6s

點(diǎn)評(píng) 本題是回旋加速器的改進(jìn)，電場(chǎng)方向不需要周期性改變，關(guān)鍵是明確粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，然后結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解