Question

12．如圖所示，由運載火箭將飛船送入近地點為A、遠地點為B的橢圓軌道上，A點距地面的高度為h₁，飛船飛行五圈后進行變軌，進入預定圓軌道在預定圓軌道上飛行N圈所用時間為t．已知地球表面重力加速度為g，地球半徑為R．求：
（1）飛船在A點的加速度大小a_A；
（2）遠地點B距地面的高度h₂；
（3）沿著橢圓軌道從A到B的時間t_AB．

Answer 1

分析 （1）由黃金代換確定出地球質(zhì)量．飛船在A點由萬有引力產(chǎn)生加速度求得加速度．
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力用周期關系即可求解高度；
（3）根據(jù)開普勒第三定律，結合橢圓軌道半長軸的大小，求出飛船在橢圓軌道上的周期，從而求出飛船由A點到B點所需的時間．

解答 解：（1）地表：GM=gR²　�、�
在A點：a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$=$\frac{GM}{（R+{h}_{1}）^{2}}$   ②
由①②式可得：a=$g\frac{{R}^{2}}{（R+{h}_{1}）^{2}}$
（2）在B點：$G\frac{M}{（R+{h}_{2}）^{2}}=m（R+{h}_{2}）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$�、�
由①③式可得：${h}_{2}=\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R　　而T=$\frac{t}{N}$，則h₂=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{N}^{2}}}-R$
（3）根據(jù)題意得橢圓軌道的半長軸r=$\frac{2R+{h}_{1}+{h}_{2}}{2}$=$\frac{\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}+R+{h}_{1}}{2}$，設橢圓周期為T′
根據(jù)開普勒第三定律得：$\frac{{r}^{3}}{T{′}^{2}}=\frac{（R+{h}_{2}）^{3}}{（\frac{t}{N}）^{2}}$  得T′=$\sqrt{\frac{（\frac{t}{N}）^{2}{r}^{3}}{（R+{h}_{2}）^{3}}}$=$\sqrt{\frac{（{\frac{t}{N}）}^{2}（\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}+R+{h}_{1}）^{3}}{（R+{h}_{2}）^{3}}}$
則由A到B歷時為$\frac{T′}{2}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{（{\frac{t}{N}）}^{2}（\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}+R+{h}_{1}）^{3}}{（R+{h}_{2}）^{3}}}$
答：（1）飛船在A點的加速度大小為$g\frac{{R}^{2}}{（R+{h}_{1}）^{2}}$
（2）遠地點B距地面的高度為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{N}^{2}}}-R$

（3）沿著橢圓軌道從A到B的時間為$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{（{\frac{t}{N}）}^{2}（\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}+R+{h}_{1}）^{3}}{（R+{h}_{2}）^{3}}}$

點評 本題主要考查了萬有引力提供向心力公式的直接應用，注意選取適當?shù)墓�式解題，難度適中；飛船由A點到B點所需的時間應是橢圓軌道的半個周期．關鍵掌握開普勒第三定律，并能靈活運用．