Question

3．如圖所示，在xoy坐標(biāo)系坐標(biāo)原點O處有一點狀的放射源，它向xoy平面內(nèi)的x軸上方各個方向發(fā)射α粒子，α粒子的速度大小均為v₀，在0＜y＜d的區(qū)域內(nèi)分布有指向y軸正方向的勻強電場，場強大小為E=$\frac{3mv_0^2}{2qd}$，其中q與m分別為α粒子的電量和質(zhì)量；在d＜y＜2d的區(qū)域內(nèi)分布有垂直于xoy平面向里的勻強磁場，mn為電場和磁場的邊界．a(chǎn)b為一塊很大的平面感光板垂直于xoy平面且平行于x軸，放置于y=2d處，如圖所示．觀察發(fā)現(xiàn)此時恰好無粒子打到ab板上．（q、d、m、v₀均為已知量，不考慮α粒子的重力及粒子間的相互作用），求：
（1）α粒子通過電場和磁場邊界mn時的速度大小及此時距y軸的最大距離；
（2）磁感應(yīng)強度B的大小；
（3）將ab板至少向下平移多大距離才能使所有的粒子均能打到板上？此時ab板上被α粒子打中的區(qū)域的長度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理求出α粒子剛進(jìn)人磁場時的動能．
（2）粒子沿x軸正方向射出的粒子進(jìn)入磁場偏轉(zhuǎn)的角度最大，若該粒子進(jìn)入磁場不能打在ab板上，則所有粒子均不能打在ab板上．根據(jù)帶電粒子在電場中類平拋運動，求出進(jìn)入磁場中的偏轉(zhuǎn)角度，結(jié)合幾何關(guān)系得出軌道半徑，從而得出磁感應(yīng)強度的大�。�
（3）沿x軸負(fù)方向射出的粒子若能打到ab板上，則所有粒子均能打到板上．其臨界情況就是此粒子軌跡恰好與ab板相切．根據(jù)帶電粒子在磁場中運動的軌道半徑大小得出磁場的寬度，從而確定出ab板移動的位置，根據(jù)幾何關(guān)系求出ab板上被α粒子打中的區(qū)域的長度．

解答 解：
（1）根據(jù)動能定理：$Eqd=\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}mv_0^2$
可得：v=2v₀
初速度方向與x軸平行的粒子通過邊界mn時距y軸最遠(yuǎn)，由類平拋知識：
沿電場線方向上有：$d=\frac{1}{2}a{t^2}$
由牛頓第二定律可得：Eq=ma
垂直于電場線方向上有：x=v₀t
解得：$x=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}d$
（2）根據(jù)上題結(jié)果可知：
對于沿x軸正方向射出的粒子進(jìn)入磁場時與x軸正方向夾角：$θ=\frac{π}{3}$
易知若此粒子不能打到ab板上，則所有粒子均不能打到ab板，因此此粒子軌跡必與ab板相切，可得其圓周運動的半徑：$r=\frac{2}{3}d$

又根據(jù)洛倫茲力提供向心力：$Bqv=\frac{{m{v^2}}}{r}$
可得：$B=\frac{{3m{v_0}}}{qd}$
（3）由分析可知沿x軸負(fù)方向射出的粒子若能打到ab板上，則所有粒子均能打到板上．其臨界情況就是此粒子軌跡恰好與ab板相切．                               
由分析可知此時磁場寬度為原來的$\frac{1}{3}$，
則：ab板至少向下移動   $△y=\frac{2}{3}d$
沿x軸正方向射出的粒子打在ab板的位置粒子打在ab板區(qū)域的右邊界
由幾何知識可知：ab板上被粒子打中區(qū)域的長度：$L=2x+r=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}d+\frac{2}{3}d$
答：（1）α粒子通過電場和磁場邊界mn時的速度大小為2v₀；此時距y軸的最大距離$\frac{2\sqrt{3}d}{3}$；
（2）磁感應(yīng)強度B的大小為$\frac{3m{v}_{0}}{qd}$
（3）將ab板至少向下平移$\frac{2d}{3}$才能使所有的粒子均能打到板上；此時ab板上被α粒子打中的區(qū)域的長度為$\frac{4\sqrt{3}}{3}d$+$\frac{2d}{3}$．

點評 本題考查了帶電粒子在電場和磁場中的運動，關(guān)鍵確定粒子運動的臨界情況，通過幾何關(guān)系解決，對學(xué)生數(shù)學(xué)幾何能力要求較高．