Question

10．如圖所示，水平放置的平行金屬板，右邊有一豎直放置的大屏幕，兩板的距離、板長、板到屏的距離均為d，一束質(zhì)量為m，帶電量為q的正電荷（重力不計），以各種速率沿中心線水平射入板間，若兩板間的電壓為U，形成勻強電場，并在兩板間加上垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度為B．
（1）能沿中心線打到屏幕上O點的電荷其初速率滿足什么要求？
（2）若把磁場B撤去，只保留兩板間的電壓U不變，能從兩板間射出的電荷，其初速率應滿足什么條件？并求出電荷打到屏幕的范圍．
（3）若把電壓U撤去，只保留兩板間的磁場B，能從兩板間射出的電荷，其初速率又應滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）粒子在速度選擇器中做勻速直線運動，由平衡條件可以求出速度．
（2）粒子在電場中做類平拋運動，應用類平拋運動規(guī)律可以求出速度與范圍．
（3）粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律求出粒子速度的臨界值，然后分析答題．

解答 解：（1）若電荷打到O點，設其初速率為v_o，則滿足：$q{v_0}B=q\frac{U}hq26rt2$，解得：${v_0}=\frac{U}{dB}$；
（2）若撤去磁場，則電荷在板間做類平拋運動，設初速率為v₁的電荷恰好從右上邊緣射出，
則有：d=v₁t，$\fracmzrj1go{2}=\frac{1}{2}a{t^2}$，加速度：$a=\frac{qU}{md}$，
解得：${v_1}=\sqrt{\frac{qU}{m}}$，即初速率：$v≥\sqrt{\frac{qU}{m}}$的電荷能從兩板間射出．
電荷從板間射出后做勻速直線運動，其速度的反向延長線交于中心線中點，
設其打到屏幕時距離O點的距離為L，根據(jù)相似三角形，則有：$\frac{{\fracocthjl1{2}}}{L}=\frac{{\fractgiq1cp{2}}}{{\frac1ogdfxf{2}+d}}$，
解得：$L=\frac{3}{2}d$，即為能從兩板間射出的電荷打到屏幕的范圍．
（3）若撤去電場，則電荷在磁場能做勻速圓周運動，設初速率為v₂的電荷恰好從右下邊緣射出，
則有：${R_1}^2={（{R_1}-\fracz023qdv{2}）^2}+{d^2}$，解得：${R_1}=\frac{5}{4}d$，
由牛頓第二定律得：$q{v_2}B=m\frac{v_2^2}{R_1}$，解得：${v_2}=\frac{5qBd}{4m}$，
設初速率為v₃的電荷恰好從左下邊緣射出，
則有：$2{R_2}=\fracwo5v0d6{2}$，解得：${R_2}=\fracf1mzror{4}$，
又$q{v_3}B=m\frac{v_3^2}{R_2}$，解得：${v_3}=\frac{qBd}{4m}$，
即能從兩板間射出的電荷其速率應滿足：$v≤\frac{qBd}{4m}$或$v≥\frac{5qBd}{4m}$；
答：（1）能沿中心線打到屏幕上O點的電荷其初速率滿足的要求是：v₀=$\frac{U}{dB}$．
（2）若把磁場B撤去，只保留兩板間的電壓U不變，能從兩板間射出的電荷，其初速率應滿足的條件是：v≥$\sqrt{\frac{qU}{m}}$，電荷打到屏幕的范圍是：$L=\frac{3}{2}d$，即為能從兩板間射出的電荷打到屏幕的范圍．
（3）若把電壓U撤去，只保留兩板間的磁場B，能從兩板間射出的電荷，其初速率又應滿足條件是：$v≤\frac{qBd}{4m}$或$v≥\frac{5qBd}{4m}$．

點評 本題考查了粒子在電磁場中的運動，分析清楚粒子運動過程，應用平衡條件、牛頓第二定律、類平拋運動規(guī)律 即可正確解題．