Question

5．如圖所示，傳送帶與地面的傾角θ=37°，從A端到B端的長度為16m，傳送帶以v₀=10m/s的速度沿逆時針方向轉(zhuǎn)動．在傳送帶上端A處無初速地放置一個質(zhì)量為0.5kg的煤塊（可視為質(zhì)點），它與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)為μ=0.5，求：（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
①物體從A端運動到B端所需的時間是多少？
②皮帶上煤塊留下的黑色軌跡長度．

Answer 1

分析 （1）物體放在傳送帶上后，開始階段，傳送帶的速度大于物體的速度，傳送帶給物體一沿斜面向下的滑動摩擦力，物體由靜止開始加速下滑，當(dāng)物體加速至與傳送帶速度相等時，由于μ＜tanθ，物體在重力作用下將繼續(xù)加速，此后物體的速度大于傳送帶的速度，傳送帶給物體沿傳送帶向上的滑動摩擦力，但合力沿傳送帶向下，物體繼續(xù)加速下滑，綜上可知，滑動摩擦力的方向在獲得共同速度的瞬間發(fā)生了“突變”；根據(jù)牛頓第二定律求出兩段的加速度，再根據(jù)速度時間關(guān)系求兩段的時間；
（2）第一階段炭塊的速度小于皮帶速度，炭塊相對皮帶向上移動；第二階段，炭塊的速度大于皮帶速度，炭塊相對皮帶向下移動；根據(jù)運動學(xué)公式求解相對位移．

解答 解：（1）開始階段，由牛頓第二定律得：
mgsinθ+μmgcosθ=ma₁ 　　
所以：
a₁=g（sinθ+μcosθ）=10×（0.6+0.5×0.8）=10m/s²
物體加速至與傳送帶速度相等時需要的時間：
t₁=$\frac{v}{{a}_{1}}$=$\frac{10}{10}$=1s
發(fā)生的位移：
x₁=$\frac{1}{2}$a₁t₁²=5m＜16m，所以物體加速到10m/s 時仍未到達(dá)B點，此時摩擦力方向改變．
第二階段有：
mgsinθ-μmgcosθ=ma₂
所以：a₂=2m/s²
設(shè)第二階段物體滑動到B的時間為t₂ ，則：
L_AB-S=vt₂+$\frac{1}{2}$a₂t₂²
解得：t₂=1s （負(fù)值舍去）
故物體從A端運動到B端所需的時間：
t=t₁+t₂=1s+1s=2s
（2）在B點的速度為：
v_B=v+a₂t₂=10+2×1=12m/s
第一階段炭塊的速度小于皮帶速度，炭塊相對皮帶向上移動，炭塊的位移為：
x₁=$\frac{1}{2}$a${t}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}$×10×1²=5m
傳送帶的位移為10m，故炭塊相對傳送帶上移5m；
第二階段炭塊的速度大于皮帶速度，炭塊相對皮帶向下移動，炭塊的位移為：
x₂=vt₂+$\frac{1}{2}$a₂${t}_{2}^{2}$=10×1+$\frac{1}{2}$×2×1²=11m
傳送帶的位移為10m，即炭塊相對傳送帶下移1m：
故傳送帶表面留下黑色炭跡的長度為5m；
答：（1）物體從A端運動到B端所需的時間為2s；
（2）傳送帶表面留下黑色炭跡的長度為5m．

點評 從該題可以總結(jié)出，皮帶傳送物體所受摩擦力可能發(fā)生突變，不論是其大小的突變，還是其方向的突變，都發(fā)生在物體的速度與傳送帶速度相等的時刻．