Question

（2010?鎮(zhèn)江一模）在光滑絕緣的水平面（紙面）上建有如圖所示的平面直角坐標系，在此水平面上可視為質點的不帶電小球a靜止于坐標系的原點O，可視為質點的帶正電小球b靜止在坐標為（0，-h）的位置上．現加一方向沿y軸正方向、電場強度大小為E、范圍足夠大的勻強電場，同時給a球以某一速度使其沿x軸正方向運動．當b球到達坐標系原點O時速度為v₀，此時立即撤去電場而改加一方向垂直于紙面向外、磁感應強度大小為B、范圍足夠大的勻強磁場，最終b球能與a球相遇．求：
（1）b球的比荷

q

m

；
（2）從b球到達原點O開始至b球與a球相遇所需的時間；
（3）撤去電場時，a球的位置坐標．

Answer 1

分析：（1）b球在電場力作用下做勻加速運動，電場力做功等于b球的動能變化，根據動能定理可求得b球的比荷

q

m

；
（2）b球到達原點O后在洛倫茲力作用下而做勻速圓周運動，根據牛頓第二定律可求出圓周運動的半徑，由圓周運動知識求出周期T．如圖，b球只能與a球在圖中的S處相遇，即可根據周期性求出時間．
（3）a球從O點開始運動到S點的過程中，b球先做勻加速直線運動，后做勻速圓周運動，a球做勻速直線運動，兩球運動的時間相同，即可得到a球從開始運動到兩球相遇所用的時間，位移等于b球圓周運動的直徑，由公式v=

x

t

可求出a球的速度，再由位移公式求解出撤去電場時，a球的位置坐標．

解答：解：（1）b球在電場力作用下加速，由動能定理得：qEh=

1

2

m

v

2 0

 則b球的比荷為

q

m

=

v 2 0

2Eh

（2）b球運動到原點后，只在磁場力作用下，在水平面上做勻速圓周運動，有：qv₀B=m

v 2 0

R

得：R=

mv0

qB

 
b球圓周運動的周期為 T=

2πR

v0

=

2πm

qB

=

4πhE

B v 2 0

b球只能與a球相遇在圖中的S處，相遇所需時間為：
t=（k+

1

2

）T=（k+

1

2

）

4πhE

B v 2 0

，（k=1，2，3，…） 
（3）a球從O點開始運動到S點，與b球相遇所用時間為：t′=t₁+t
由h=

v0

2

t1得：t1=

2h

v0

a球通過的位移為：OS=2R
由v=

2R

t1+t

可得a球的速度為：v=

2Ev0

Bv0+(2k+1)πE

則撤去電場時，a球在x軸上的坐標為：x₀=vt₁=

4Eh

Bv0+(2k+1)πE

球的位置為（

4Eh

Bv0+(2k+1)πE

，0）（k=1，2，3，…）
答：（1）b球的比荷

q

m

為

v 2 0

2Eh

；
（2）從b球到達原點O開始至b球與a球相遇所需的時間是

4πhE

B v 2 0

，（k=1，2，3，…）；
（3）撤去電場時，a球的位置坐標是（

4Eh

Bv0+(2k+1)πE

，0）（k=1，2，3，…）．

點評：本題的解題關鍵是分析兩球的運動過程，抓住兩球運動的同時性，以及b球圓周運動的周期性即可求出時間．