Question

9．如圖所示，“×”型光滑金屬導(dǎo)軌abcd固定在絕緣水平面上，ab和cd足夠長∠aOc=60°．虛線MN與∠bOd的平分線垂直，O點(diǎn)到MN的距離為L．MN左側(cè)是磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場．一輕彈簧右端固定，其軸線與∠bOd的平分線重合，自然伸長時左端恰在O點(diǎn)．一質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒ef平行于MN置于導(dǎo)軌上，導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌接觸良好．某時刻使導(dǎo)體棒從MN的右側(cè)$\frac{L}{4}$處由靜止開始釋放，導(dǎo)體棒在壓縮彈簧的作用下向左運(yùn)動，當(dāng)導(dǎo)體棒運(yùn)動到O點(diǎn)時彈簧與導(dǎo)體棒分離．導(dǎo)體棒由MN運(yùn)動到O點(diǎn)的過程中做勻速直線運(yùn)動．導(dǎo)體棒始終與MN平行．已知導(dǎo)體棒與彈簧彼此絕緣，導(dǎo)體棒和導(dǎo)軌單位長度的電阻均為r_o，彈簧被壓縮后所獲得的彈性勢能可用公式Ep=$\frac{1}{2}$kx²計算，k為彈簧的勁度系數(shù)，x為彈簧的形變量．
（1）求導(dǎo)體棒在磁場中做勻速直線運(yùn)動過程中的感應(yīng)電流的大小，并判定大小變化特點(diǎn)；
（2）求彈簧的勁度系數(shù)k和導(dǎo)體棒在磁場中做勻速直線運(yùn)動時速度v₀的大��；
（3）求導(dǎo)體棒最終靜止時的位置距O點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求解感應(yīng)電動勢，根據(jù)閉合電路的歐姆定律求解回路中的感應(yīng)電流強(qiáng)度；
（2）導(dǎo)體棒和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列方程；再以導(dǎo)體棒為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律列方程，聯(lián)立求解；
（3）導(dǎo)體棒過O點(diǎn)后與彈簧脫離，根據(jù)牛頓第二定律可得$\frac{{{B^2}lv}}{{3{r_0}}}$=ma，左右兩邊同乘以△t，在求和，由此求解導(dǎo)體棒最終靜止的位置距O點(diǎn)的距離．

解答 解：（1）設(shè)導(dǎo)體棒在磁場中做勻速直線運(yùn)動時的速度為v₀，某時刻導(dǎo)體棒在回路中的長度為l，則此時感應(yīng)電動勢為：
E=Blv₀
此時回路的電阻為：
R=3lr₀
回路中的感應(yīng)電流為：
I=$\frac{E}{R}=\frac{{B{v_0}}}{{3{r_0}}}$
因?yàn)锽、v₀均為不變量，所以感應(yīng)電流I為不變量；
（2）釋放導(dǎo)體棒后，在未進(jìn)入磁場的過程中，導(dǎo)體棒和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則有：
$\frac{1}{2}k{（\frac{5L}{4}）^2}-\frac{1}{2}k{L^2}=\frac{1}{2}$mv₀²
導(dǎo)體棒在磁場中做勻速直線運(yùn)動的過程中，設(shè)某時刻導(dǎo)體棒距O的距離為x，根據(jù)牛頓第二定律有：
2BIxtan30°-kx=0
解得：k=$\frac{{{B^4}{L^2}}}{12mr_0^2}$，v₀=$\frac{{\sqrt{3}{B^2}{L^2}}}{{8m{r_0}}}$；
（3）導(dǎo)體棒過O點(diǎn)后與彈簧脫離，在停止運(yùn)動前做減速運(yùn)動．設(shè)某時刻導(dǎo)體棒距O點(diǎn)的距離為x，導(dǎo)體棒在回路中的長度為l，加速度為a，速度為v，回路中的電流為I，
根據(jù)牛頓第二定律有：
BIl=ma
又因?yàn)橛校篒=$\frac{Bv}{{3{r_0}}}$
所以有：$\frac{{{B^2}lv}}{{3{r_0}}}$=ma
取一段很短的時間△t，導(dǎo)體棒在回路中的長度為l、加速度為a和速度為v，l、a和v可以為不變．設(shè)在這段時間內(nèi)導(dǎo)體棒速度的變化量大小為△v，回路所圍面積的變化量為△S．
將上式左右兩邊同乘以△t，可得：
$\frac{{{B^2}lv}}{{3{r_0}}}$△t=ma△t
則導(dǎo)體棒從O點(diǎn)開始運(yùn)動到靜止的過程可表示為：
$\frac{{{B^2}{l_1}{v_1}}}{{3{r_0}}}△{t_1}+\frac{{{B^2}{l_2}{v_2}}}{{3{r_0}}}△{t_2}+\frac{{{B^2}{l_3}{v_3}}}{{3{r_0}}}△{t_3}+…=m{a_1}△{t_1}+m{a_2}△{t_2}+m{a_3}△{t_3}$+…
即：$\sum_{\;}^{\;}{\frac{{{B^2}{l_n}{v_n}}}{{3{r_0}}}△{t_n}=\sum_{\;}^{\;}{m{a_n}△{t_n}}}$
所以有：$\frac{B^2}{{3{r_0}}}\sum_{\;}^{\;}{{l_n}{v_n}△{t_n}=m\sum_{\;}^{\;}{{a_n}△{t_n}}}$$\frac{B^2}{{3{r_0}}}\sum_{\;}^{\;}{△{S_n}=m\sum_{\;}^{\;}{△{v_n}}}$
設(shè)導(dǎo)體棒最終靜止的位置距O點(diǎn)的距離為x₀，則有：
$\frac{B^2}{{3{r_0}}}x_0^2tan30°=m{v_0}$
解得：x₀=$\frac{{3\sqrt{2}l}}{4}$．
答：（1）導(dǎo)體棒在磁場中做勻速直線運(yùn)動過程中的感應(yīng)電流的大小為$\frac{B{v}_{0}}{3{r}_{0}}$，電流強(qiáng)度恒定；
（2）彈簧的勁度系數(shù)為$\frac{{B}^{4}{L}^{2}}{12m{r}_{0}^{2}}$，導(dǎo)體棒在磁場中做勻速直線運(yùn)動時速度v₀的大小為$\frac{\sqrt{3}{B}^{2}{L}^{2}}{8m{r}_{0}}$；
（3）導(dǎo)體棒最終靜止時的位置距O點(diǎn)的距離為$\frac{3\sqrt{2}l}{4}$．

點(diǎn)評 對于電磁感應(yīng)問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力作用下導(dǎo)體棒的平衡問題，根據(jù)平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問題，根據(jù)動能定理、功能關(guān)系等列方程求解．