Question

7．一傳送帶裝置示意圖如圖所示，其中傳送帶經過AB區(qū)域時是水平的，經過BC區(qū)域時變?yōu)閳A弧形 （圓弧由光滑模板組成，未畫出），經過CD區(qū)域時是傾斜的，AB和CD都與BC相切．現將大量的質量均為m的小貨箱一個一個在A處放到傳送帶上，放置時初速度為零，經傳送帶運送到D處，D和A的高度差為h．穩(wěn)定工作時傳送帶速度不變，CD段上各箱以相等間距排列，相鄰兩箱的距離為L．每個箱子在A處投放后，在到達B之前已經相對于傳送帶靜止，且以后也不再滑動（忽略經BC段時的微小滑動）．已知在一段相當長的時間T內，共運送小貨箱的數目為N．此裝置由電動機帶動，傳送帶與輪子間無相對滑動．不計輪軸處的摩擦．求：

（1）傳送帶的運行速度大小；
（2）電動機的平均輸出功率P．

Answer 1

分析 本題涉實際生活、圖形信息和復雜情境，給人以無從下手的感覺．其實，本題條件是較明顯的，在題設情境下首先將小貨箱視為質點，然后分清小貨箱在傳送帶的運動過程，以及這些過程中涉及哪些能量的轉化．這樣將復雜涉實際情境的問題還原成了熟悉的典型運動問題

解答 解：（1）小貨箱先在水平面上獲得與皮帶同速，在斜面上作勻減速直線運動至少到頂速度為0，距離為：s=$\frac{h}{sinθ}$，又v₀²=2as，
貨箱在斜面上作勻減速直線運動，加速度為：
a=gsinθ-μgcosθ
故皮帶速度至少為：V₀=$\sqrt{\frac{2h（gsinθ-μgcosθ）}{sinθ}}$
（2）以地面為參考系（下同），設傳送帶的運動速度為v₀，在水平段運輸的過程中，小貨箱先在滑動摩擦力作用下做勻加速直線運動，其末速度等于傳送帶的速度，設這段時間內小貨箱通過的位移為s，所用的時間為t，加速度為a，則對小貨箱有
s=$\frac{1}{2}$at²                                                        ①
v₀=at                                                          ②
在這段時間內，傳送帶運動的路程為
s₀=v₀t                                                          ③
由以上各式得
s₀=2s                                                           ④
用f表示小貨箱與傳送帶之間的滑動摩擦力，則傳送帶對小貨箱做功為
W₁=fs=$\frac{1}{2}$mv₀²                                                     ⑤
傳送帶克服小箱對它的摩擦力做功
W₀=fs₀=2×$\frac{1}{2}$mv₀²                                                 ⑥
兩者之差就是克服摩擦力做功發(fā)出的熱量
Q=$\frac{1}{2}$mv₀²                                                          ⑦
可見，在小貨箱加速運動過程中，小貨箱獲得的動能與系統(tǒng)因相對運動產生的熱量相等．
T時間內，電動機輸出的功為
W=$\overline{P}$T                                                            ⑧
此功用于增加小貨箱的動能、重力勢能以及克服摩擦力產生熱量，即
W=$\frac{1}{2}$Nmv₀²+Nmgh+NQ                                               ⑨
已知相鄰兩小箱的距離為L，所以在T時間內運送的小貨箱的個數N，
則V₀T=（N-1）L                                                     　 ⑩
聯(lián)立⑦⑧⑨⑩式，得
$\overline{P}$=$\frac{Nm}{T}$（$\frac{（N-1）^{2}{L}^{2}}{{T}^{2}}$+gh）
答：①皮帶速度為$\sqrt{\frac{2h（gsinθ-μgcosθ）}{sinθ}}$
②電動機的平均輸出功率為$\frac{Nm}{T}$（$\frac{（N-1）^{2}{L}^{2}}{{T}^{2}}$+gh）．

點評 題目看似很難，實際上是由一些簡單的題目綜合而成的，故在遇到難題時不要緊張，更不能放棄，要心平氣和的分析題目已知條件和求解之間的關系，從而最終解決問題