Question

6．如圖，質(zhì)量為M=2Kg的足夠長(zhǎng)金屬導(dǎo)軌abcd放在光滑的絕緣水平面上．一電阻不計(jì)、質(zhì)量為m=2kg的導(dǎo)體棒PQ放置在導(dǎo)軌上，始終與導(dǎo)軌接觸良好，PQbc構(gòu)成矩形．棒與導(dǎo)軌間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.1，棒左側(cè)有兩個(gè)固定于水平面的立柱．導(dǎo)軌bc段長(zhǎng)為L(zhǎng)=0.5米，開(kāi)始時(shí)PQ左側(cè)導(dǎo)軌的總電阻為R=1Ω，右側(cè)導(dǎo)軌單位長(zhǎng)度的電阻為R₀=0.5Ω/m．以ef為界，其左側(cè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向豎直向上，右側(cè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)水平向左，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B=20T．在t=0時(shí)，一水平向左的拉力F垂直作用在導(dǎo)軌的bc邊上，使導(dǎo)軌由靜止開(kāi)始做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，加速度為a=2m/s²．
（1）求回路中感應(yīng)電流隨時(shí)間變化的表達(dá)式；
（2）經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間拉力F達(dá)到最大值，拉力F的最大值為多少？
（3）某過(guò)程中回路產(chǎn)生的焦耳熱為Q=20J，導(dǎo)軌克服摩擦力做功為W_f=4J，求導(dǎo)軌動(dòng)能的增加量．

Answer 1

分析 （1）電磁感應(yīng)定律求電動(dòng)勢(shì)，勻變速運(yùn)動(dòng)求速度，由閉合電路歐姆定律求出感應(yīng)電流隨時(shí)間變化的表達(dá)式；
（2）對(duì)導(dǎo)軌受力分析，牛頓第二定律求F得最大值；
（3）由動(dòng)能定理求導(dǎo)軌動(dòng)能的增加量．

解答 解：（1）對(duì)桿發(fā)電：E=BLv，
導(dǎo)軌做初速為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，v=at，
E=BLat，
s=$\frac{1}{2}$at²
對(duì)回路：閉合電路歐姆定律：
$I=\frac{BLV}{{R}_{總}(cāng)}=\frac{BLat}{R+2{R}_{0}（\frac{1}{2}a{t}^{2}）}=\frac{BLat}{R+{R}_{0}a{t}^{2}}$
（2）導(dǎo)軌受外力F，安培力F_A摩擦力f．其中
對(duì)桿受安培力：F_A=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{R+{R}_{0}a{t}^{2}}$
F_f=μF_N=μ（mg+BIL）=μ（mg+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{R+{R}_{0}a{t}^{2}}$）
由牛頓定律F-F_A-F_f=Ma
F=Ma+F_A+F_f=Ma+μmg+（1+μ）$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{R+{R}_{0}a{t}^{2}}$
上式中當(dāng)：$\frac{R}{t}$=R₀at
即t=$\sqrt{\frac{R}{a{R}_{0}}}$時(shí)，外力F取最大值，
F _max=Ma+μmg+$\frac{1}{2}$（1+μ）B²L²$\sqrt{\frac{a}{R{R}_{0}}}$，
代入數(shù)據(jù)得：F _max=107 N
（3）設(shè)此過(guò)程中導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)距離為s，
由動(dòng)能定理，W_合=△Ek     W_合=Mas．  
由于摩擦力F_f=μ（mg+F_A），
所以摩擦力做功：W_f=μmgs+μW_A=μmgs+μQ，
s=$\frac{{W}_{f}-μQ}{μmg}$，
△E_k=Mas=$\frac{{W}_{f}-μQ}{μmg}Ma$
代入數(shù)據(jù)得：△E_k=4J．
答：（1）回路中感應(yīng)電流隨時(shí)間變化的表達(dá)式為$I=\frac{BLat}{R+{R}_{0}a{t}^{2}}$；
（2）經(jīng)過(guò)$\sqrt{\frac{a}{R{R}_{0}}}$時(shí)間拉力F達(dá)到最大值，拉力F的最大值為107N；
（3）導(dǎo)軌動(dòng)能的增加量為4J．

點(diǎn)評(píng) 考查了電磁感應(yīng)定律產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)、電流隨時(shí)間變化的規(guī)律，解答時(shí)要注意回路中的電阻也時(shí)間在變化，要正確分析導(dǎo)軌的受力情況，運(yùn)用電磁感應(yīng)定律和力學(xué)規(guī)律解決電磁感應(yīng)與力學(xué)的綜合問(wèn)題．