Question

13．質量是800千克的汽車駛上頂部圓弧半徑為50米的拱形橋．
（1）如果汽車在拱形橋頂部對橋的壓力是車重的$\frac{4}{5}$，求汽車經過拱形橋頂部時的速度．
（2）汽車安全經過這個拱橋應該限速多少．
（3）如果是同樣半徑的凹形橋，當汽車的速度是10m/s時對凹形橋底部的壓力大小是多少？

Answer 1

分析 （1）在拱形橋最高點，根據重力和橋面的支持力的合力提供圓周運動的向心力，根據牛頓第二定律和向心力公式，求出汽車的速度．
（2）汽車在最高點對拱形橋的壓力為零時，靠重力提供向心力，再根據牛頓第二定律和向心力公式，求出汽車的速度．
（3）當汽車的速度是10m/s時通過凹形橋底部，根據牛頓第二定律求解．

解答 解：（1）汽車在在最高點時，豎直方向受重力和支持力，其合力提供向心力，由向心力公式得：
mg-N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
由題意有：N=$\frac{4}{5}$mg
代入數據得：v=10m/s，
（2）汽車在最高點對拱形橋的壓力為零時，汽車在豎直方向只受重力，
由重力提供向心力，由向心力公式得：
mg=m$\frac{{v}_{m}^{2}}{R}$
代入數據得：v_m=10$\sqrt{5}$m/s，
（3）當汽車的速度是10m/s時通過凹形橋底部，根據牛頓第二定律得
N′-mg=m$\frac{{v′}_{\;}^{2}}{R}$
解得：N′=9600N，
根據牛頓第三定律得汽車對凹形橋底部的壓力大小是9600N；
答：（1）如果汽車在拱形橋頂部對橋的壓力是車重的$\frac{4}{5}$，汽車經過拱形橋頂部時的速度是10m/s．
（2）汽車安全經過這個拱橋速度應該小于等于10$\sqrt{5}$m/s
（3）如果是同樣半徑的凹形橋，當汽車的速度是10m/s時對凹形橋底部的壓力大小是9600N．

點評 解決本題的關鍵知道汽車過拱橋，在最高點，靠重力和支持力的合力提供向心力，若支持力為0，由重力提供向心力．