Question

3．如圖所示，在距水平地面高h(yuǎn)₁=1.2m的光滑水平臺(tái)面上，一個(gè)質(zhì)量m=1kg的小物塊壓縮彈簧后被鎖扣K鎖住，儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能E_p=2J．現(xiàn)打開鎖扣K，物塊與彈簧分離后將以一定的水平速度向右滑離平臺(tái)，并恰好從B點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入光滑豎直的圓弧軌道BC．已知B點(diǎn)距水平地面的高h(yuǎn)₂=0.6m，圓弧軌道BC的圓心O，C點(diǎn)的切線水平，并與水平地面上長為L=2.8m的粗糙直軌道CD平滑連接，小物塊沿軌道BCD運(yùn)動(dòng)并與右邊的豎直墻壁會(huì)發(fā)生碰撞，重力加速度g=10m/s²，空氣阻力忽略不計(jì)．試求：

（1）小物塊運(yùn)動(dòng)到B的瞬時(shí)速度v_B大小及與水平方向夾角θ；
（2）小物塊在圓弧軌道BC上滑到C時(shí)對(duì)軌道壓力N_c大�。�
（3）若小物塊與墻壁碰撞后速度反向、大小變?yōu)榕銮暗囊话�，且只�?huì)發(fā)生一次碰撞，那么小物塊與軌道CD之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ應(yīng)該滿足怎樣的條件．

Answer 1

分析 （1）小球做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式求解，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法求解速度的偏轉(zhuǎn)角度；
（2）先根據(jù)功能關(guān)系列式求解C點(diǎn)的速度，在C點(diǎn)，支持力和重力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解；
（3）根據(jù)能量守恒列出能量等式解決問題．由于p點(diǎn)的位置不確定，要考慮物塊可能的滑過的路程．

解答 解：（1）小物塊由A運(yùn)動(dòng)到B的過程中做平拋運(yùn)動(dòng)，機(jī)械能守恒，故：
E_p=$\frac{1}{2}$mv₀²，
代入數(shù)據(jù)得：v₀=2m/s，
E_p+mg（h₁-h₂）=$\frac{1}{2}$mv_B²，
代入數(shù)據(jù)得：v_B=4m/s，
根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：
cosθ=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{B}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
故θ=60°；
（2）根據(jù)圖中幾何關(guān)系可知：
h₂=R（1-cos∠BOC），
代入數(shù)據(jù)解得：R=1.2m，
根據(jù)能的轉(zhuǎn)化與守恒可知：
E_p+mgh₁=$\frac{1}{2}$mv_C²，
解得：v_C=2$\sqrt{7}$m/s，
對(duì)小球在圓弧軌道C點(diǎn)應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律：
N_c-mg=m$\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
解得：N_c=10+$\frac{28}{1.2}$=33.3N．
（3）依據(jù)題意知：
①μ的最大值對(duì)應(yīng)的是物塊撞墻前瞬間的速度趨于零，根據(jù)能量關(guān)系有：
mgh₁+E_p＞μmgL   
代入數(shù)據(jù)解得：μ＜$\frac{1}{2}$，
②對(duì)于μ的最小值求解，首先應(yīng)判斷物塊第一次碰墻后反彈，能否沿圓軌道滑離B點(diǎn)，設(shè)物塊碰前在D處的速度為v₂，由能量關(guān)系有：
mgh₁+E_p=μmgL+$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$，
第一次碰墻后返回至C處的動(dòng)能為：
E_kC=$\frac{1}{8}$mv₂²-μmgL，
可知即使μ=0，有：
$\frac{1}{2}$mv₂²=14J，
$\frac{1}{8}$mv₂²=3.5J＜mgh₂=6J，小物塊不可能返滑至B點(diǎn)
故μ的最小值對(duì)應(yīng)著物塊撞后回到圓軌道最高某處，又下滑經(jīng)C恰好至D點(diǎn)停止，因此有：
$\frac{1}{8}$mv₂²≤2μmgL
聯(lián)立解得：μ≥$\frac{1}{18}$．
綜上可知滿足題目條件的動(dòng)摩擦因數(shù)μ值：$\frac{1}{18}$≤μ＜$\frac{1}{2}$．
答：（1）小物塊運(yùn)動(dòng)到B的瞬時(shí)速度v_B大小為4m/s，與水平方向夾角θ為60°；
（2）小物塊在圓弧軌道BC上滑到C時(shí)對(duì)軌道壓力N_c大小為33.3N；
（3）小物塊與軌道CD之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ應(yīng)該滿足的條件為$\frac{1}{18}$≤μ＜$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 做物理問題應(yīng)該先清楚研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)過程，根據(jù)運(yùn)動(dòng)性質(zhì)利用物理規(guī)律解決問題；關(guān)于能量守恒的應(yīng)用，要清楚物體運(yùn)動(dòng)過程中能量的轉(zhuǎn)化．