Question

8．如圖所示，間距為L(zhǎng)，足夠長(zhǎng)的光滑金屬導(dǎo)軌MN和PQ放在傾角為θ的斜面上，在N和Q之間連有一個(gè)阻值為R電阻．兩導(dǎo)軌間有一邊長(zhǎng)為$\frac{L}{2}$的正方形區(qū)域abcd，該區(qū)域內(nèi)有方向垂直斜面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．在導(dǎo)軌上放置一根與導(dǎo)軌垂直的金屬桿，金屬桿質(zhì)量為m、電阻為r．金屬桿從ab處無(wú)初速釋放，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終與導(dǎo)軌保持垂直且接觸良好，金屬桿離開(kāi)磁場(chǎng)前已做勻速運(yùn)動(dòng)，不計(jì)導(dǎo)軌的電阻，重力加速度為g．求：
（1）金屬桿離開(kāi)磁場(chǎng)的瞬間流過(guò)R的電流大小和方向；
（2）金屬桿穿過(guò)整個(gè)磁場(chǎng)過(guò)程中R上產(chǎn)生的電熱．

Answer 1

分析 （1）桿出磁場(chǎng)前已做勻速運(yùn)動(dòng)，重力、支持力與安培力平衡，由安培力公式F=BIL和平衡條件求解電流大��；由右手定則判斷感應(yīng)電流的方向．
（2）桿產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=$\frac{BLv}{2}$，又根據(jù)閉合歐姆定律得到E=I（R+r），聯(lián)立可求得金屬桿勻速運(yùn)動(dòng)的速度v；金屬桿穿過(guò)整個(gè)磁場(chǎng)過(guò)程中，根據(jù)能量守恒定律求解回路中產(chǎn)生的總熱量，根據(jù)兩個(gè)電阻并聯(lián)，求解R上產(chǎn)生的電熱．

解答 解：（1）金屬桿離開(kāi)磁場(chǎng)前做勻速運(yùn)動(dòng)，通過(guò)R的電流大小為I，由電路可知，通過(guò)金屬桿電流為I．由安培力及平衡條件得：
F_A=BIL
且F_A=mgsinθ
解得：I=$\frac{mgsinθ}{BL}$
由右手定則得通過(guò)R的電流方向?yàn)橛蒒流向Q． 
（2）設(shè)金屬桿離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的速度為v，由法拉第電磁感應(yīng)定律及歐姆定律得：
E=$\frac{BLv}{2}$，E=I（R+r），
聯(lián)立得：v=$\frac{2mg（R+r）sinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$
由焦耳定律及能量守恒定律得：
Q=$\frac{mgLsinθ}{2}$-$\frac{1}{2}$mv²
又 Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q
聯(lián)立以上各式解得：
Q_R=$\frac{mR}{2（R+r）}（gLsinθ-\frac{4{m}^{2}{g}^{2}（R+r）^{2}si{n}^{2}θ}{{B}^{4}{L}^{4}}）$
答：（1）金屬桿離開(kāi)磁場(chǎng)的瞬間流過(guò)R的電流大小$\frac{mgsinθ}{BL}$ 和方向由N指向Q；
（2）金屬桿穿過(guò)整個(gè)磁場(chǎng)過(guò)程中R上產(chǎn)生的電熱$\frac{mR}{2（R+r）}（gLsinθ-\frac{4{m}^{2}{g}^{2}（R+r）^{2}si{n}^{2}θ}{{B}^{4}{L}^{4}}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)中電路問(wèn)題，掌握安培力公式、閉合電路歐姆定律、法拉第電磁感應(yīng)定律是基礎(chǔ)．要注意金屬桿產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)不是E=BLv，而是E=$\frac{BLv}{2}$，有效切割的長(zhǎng)度為$\frac{L}{2}$．