Question

13．某種工業(yè)上用質(zhì)譜儀將鈾離子從其他相關(guān)元素中分離出來，如圖所示，鈾離子通過U=100KV的電勢差加速后進(jìn)入勻強(qiáng)磁場分離器，磁場中鈾離子的路徑為半徑r=1.00m的半圓，最后鈾離子從狹縫出來被收集在一只杯中，已知鈾離子的質(zhì)量m=3.92×10^-25kg，電量q=3.20×10^-19C，如果該設(shè)備每小時(shí)分離出的鈾離子的質(zhì)量m=100mg，則：（為便于計(jì)算$\sqrt{3.92}$≈2）
（1）求勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度
（2）計(jì)一小時(shí)內(nèi)杯中所產(chǎn)生的內(nèi)能
（3）計(jì)算離子流對杯產(chǎn)生的沖擊力．

Answer 1

分析 由于題目給出的是鈾離子做勻速圓周運(yùn)動，所以可以不考慮鈾離子的重力．
（1）由洛侖茲力提供向心力，求出磁感應(yīng)強(qiáng)度大�。�
（2）杯中產(chǎn)生的內(nèi)能是由鈾離子撞擊而轉(zhuǎn)化而來，所以求出1小時(shí)撞擊杯子所有離子的動能，就能得到杯中所產(chǎn)生的內(nèi)能．
（3）由動量定定理，正因?yàn)楸�子對離子有阻力才使離子的速度減小為零，動量減小為零，求出阻力，再由牛頓第三定律求出離子對杯子的沖擊力．

解答 解（1）鈾離子在加速電場中加速時(shí)，由動能定理：
    $qU=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
  鈾離子做勻速圓周運(yùn)動的向心力由洛侖茲力提供：
     $qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$
  所以：$B=\frac{mv}{qr}=\frac{m\sqrt{\frac{2qU}{m}}}{qr}=\frac{1}{r}\sqrt{\frac{2Um}{q}}=\frac{1}{1}\sqrt{\frac{2×1{0}^{5}×3.92×1{0}^{-25}}{3.2×1{0}^{-19}}}$=0.5T
（2）每小時(shí)加速鈾離子的數(shù)目$n=\frac{M}{m}=\frac{100×1{0}^{-3}}{3.92×1{0}^{-25}}=2.56×1{0}^{24}$個(gè)，每個(gè)鈾離子加速獲得的動能為：
      ${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=Uq$
  這些動能全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，則n個(gè)鈾離子全部與杯子碰撞后產(chǎn)生的總的內(nèi)能為：
 Q=nE_k=nUq=2.56×10²⁴×10⁵×3.2×10^-19J=8.19×10¹⁰J  
（3）經(jīng)過1小時(shí)，把這些鈾離子看成一個(gè)整體據(jù)動理定理：
-F_Nt=0-Mv
  所以求得杯子對這些鈾的反彈力：${F}_{N}=\frac{Mv}{t}=\frac{100×1{0}^{-3}×\sqrt{\frac{2×1{0}^{5}×3.2×1{0}^{-19}}{3.92×1{0}^{-25}}}}{3600}N$=11.1N 
  據(jù)牛頓第三定律，離子對杯子的沖擊力大小等于11.1N．
答：（1）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為0.5T．
（2）一小時(shí)內(nèi)杯中所產(chǎn)生的內(nèi)能為8.19×10¹⁰J．
（3）這些離子流對杯產(chǎn)生的沖擊力為11.1N．

點(diǎn)評 本題是力與能兩方面內(nèi)容的綜合，首先涉及到的是帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動問題，這完全是動力學(xué)問題．其次是離開磁場后運(yùn)動的鈾離子與杯子碰撞，理所當(dāng)然地動能全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能了，最后又涉及到碰撞的力學(xué)問題，這是選修3-5內(nèi)容，把這些碰撞的鈾當(dāng)成一個(gè)整體由動理定理和牛頓第三定律求出沖擊力．