Question

10．如圖所示，在xOy平面內(nèi)，以O(shè)₁（0，R）為圓心、R為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁，x軸下方有一直線ab，ab與x軸相距為d，x軸與直線ab間區(qū)域有平行于y軸的勻強(qiáng)電場(chǎng)E，在ab的下方有一平行于x軸的感光板MN，ab與MN間區(qū)域有垂直于紙平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₂．
在0≤y≤2R的區(qū)域內(nèi)，質(zhì)量為m、電荷量為e的電子從任何位置從圓形區(qū)域的左側(cè)沿x軸正方向以速度v₀射入圓形區(qū)域，經(jīng)過磁場(chǎng)B₁偏轉(zhuǎn)后都經(jīng)過O點(diǎn)，然后進(jìn)入x軸下方．已知x軸與直線ab間勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)大小E=$\frac{3mυ_0^2}{2ed}$，ab與MN間磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂=$\frac{m{v}_{0}}{ed}$．不計(jì)電子重力．
（1）求圓形區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大小？
（2）若要求從所有不同位置出發(fā)的電子都不能打在感光板MN上，MN與ab板間的最小距離h₁是多大？
（3）若要求從所有不同位置出發(fā)的電子都能打在感光板MN上，MN與ab板間的最大距離h₂是多大？當(dāng)MN與ab板間的距離最大時(shí)，電子從O點(diǎn)到MN板，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)是多少？

Answer 1

分析 （1）抓住所有電子射入圓形區(qū)域后做圓周運(yùn)動(dòng)軌道半徑大小相等，根據(jù)幾何關(guān)系得出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑，結(jié)合半徑公式求出圓形區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大�。�
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)下方磁場(chǎng)的速度，根據(jù)半徑公式求出粒子的半徑，根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與水平方向的夾角，通過幾何關(guān)系求出MN與ab板間的最小距離．
（3）如果電子在O點(diǎn)沿x軸正方向射入電場(chǎng)，經(jīng)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)和磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，能打在感光板上，則所有電子都能打在感光板上．根據(jù)幾何關(guān)系求出MN與ab板間的最大距離．
作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間求出運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間．

解答 解：（1）所有電子射入圓形區(qū)域后做圓周運(yùn)動(dòng)軌道半徑大小相等，設(shè)為r，當(dāng)電子從位置y=R處射入的電子經(jīng)過O點(diǎn)進(jìn)入x軸下方，則
r=R　                              
$e{v}_{0}B=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$，
解得 ${B}_{1}=\frac{m{v}_{0}}{eR}$             
（2）設(shè)電子經(jīng)電場(chǎng)加速后到達(dá)ab時(shí)速度大小為v，電子在ab與MN間磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌道半徑為r₁，沿x軸負(fù)方向射入電場(chǎng)的電子離開電場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與水平方向成θ角，則
$eEd=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
${r}_{1}=\frac{mv}{e{B}_{2}}$
cosθ=$\frac{{v}_{0}}{v}$
如果電子在O點(diǎn)以速度v₀沿x軸負(fù)方向射入電場(chǎng)，經(jīng)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)和磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，不能打在感光板上，則所有電子都不能打在感光板上．恰好不能打在感光板上的電子在磁場(chǎng)中的圓軌道圓心為O₂如圖，則
感光板與ab間的最小距離
h₁=r₁+r₁cosθ，
解得v=2v₀，r₁=2d，θ=60°
h₁=3d．
（3）如果電子在O點(diǎn)沿x軸正方向射入電場(chǎng)，經(jīng)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)和磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，能打在感光板上，則所有電子都能打在感光板上．恰好能打在感光板上的電子在磁場(chǎng)中的圓軌道圓心為O₃，如圖，感光板與ab間的最大距離
h₂=r₁-r₁cosθ，
解得h₂=d             
當(dāng)感光板與ab間的距離最大為h₂=d時(shí)，所有從O點(diǎn)到MN板的電子中，沿x軸正方向射入電場(chǎng)的電子，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)．設(shè)該電子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的加速度為a，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁，在磁場(chǎng)B₂中運(yùn)動(dòng)周期為T，時(shí)間為t₂，則
$a=\frac{eE}{m}$，d=$\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}$，
T=$\frac{2πm}{e{B}_{2}}$，${t}_{2}=\frac{θ}{2π}T$，
運(yùn)動(dòng)最長(zhǎng)時(shí)間 t_m=t₁+t₂，
解得 $T=\frac{2πd}{{v}_{0}}$，${t}_{1}=\frac{2\sqrt{3}d}{3{v}_{0}}$，t₂=$\frac{1}{6}×\frac{2πd}{{v}_{0}}=\frac{πd}{3{v}_{0}}$．
則t_m=$\frac{2\sqrt{3}d}{3{v}_{0}}+\frac{πd}{3{v}_{0}}$．
答：（1）圓形區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大小為$\frac{m{v}_{0}}{eR}$；
（2）MN與ab板間的最小距離h₁是3d；
（3）MN與ab板間的最大距離h₂是d，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)是$\frac{2\sqrt{3}d}{3{v}_{0}}+\frac{πd}{3{v}_{0}}$．．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在磁場(chǎng)、電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合臨界狀態(tài)，根據(jù)半徑公式、周期公式以及幾何關(guān)系綜合求解，難度較大．