Question

1．已知萬有引力常量G，地球半徑R，同步衛(wèi)星距地面的高度h，地球的自轉(zhuǎn)周期T，地球表面的重力加速度g，某同學根據(jù)以上條件，提出估算地球質(zhì)量M的方法：
同步衛(wèi)星繞地球運動，由$G\frac{Mm}{h^2}=m{（\frac{2π}{T}）^2}h$得：$M=\frac{{4{π^2}{h^3}}}{{GT_{\;}^2}}$
（1）請判斷上面的結(jié)果是否正確，并說明理由．如不正確，請給出正確的解答和結(jié)果．
（2）利用求出的正確結(jié)果，求出地球的平均密度的表達式．

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力，同步衛(wèi)星繞地球做圓周運動，靠萬有引力提供向心力，根據(jù)該理論求出中心天體（即地球）的質(zhì)量．

解答 解：（1）上述解法錯誤，因為將同步衛(wèi)星的軌道半徑搞錯，不是h，而是h+R．
根據(jù)萬有引力提供向心力：G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{4π}{{T}^{2}}（R+h）$
解得M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{GT}^{2}}$．
（2）根據(jù)密度ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{2}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3π}{G{T}^{2}}（\frac{R+h}{R}）^{3}$
答：（1）上述解法錯誤，因為將同步衛(wèi)星的軌道半徑搞錯，不是h，而是h+R，M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{GT}^{2}}$．
（2）利用求出的正確結(jié)果，求出地球的平均密度的表達式ρ=$\frac{3π}{G{T}^{2}}（\frac{R+h}{R}）^{3}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力這一理論，并能靈活運用．本題可以根據(jù)月球繞地球做圓周運動，運用萬有引力提供向心力求出地球的質(zhì)量．也可以根據(jù)萬有引力等于重力求出地球的質(zhì)量．