Question

4．如圖所示，一足夠長的光滑平行金屬軌道，其軌道平面與水平面成θ角，上端用一電阻R相連，處于方向垂直軌道平面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．質(zhì)量為m、電阻為r的金屬桿ab，從高為h處由靜止釋放，下滑一段時(shí)間后，金屬桿開始以速度v勻速運(yùn)動(dòng)直到軌道的底端．金屬桿始終保持與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，軌道電阻及空氣阻力均可忽略不計(jì)，重力加速度為g．則（　　）

• A． 金屬桿加速運(yùn)動(dòng)過程中的平均速度小于$\frac{v}{2}$
• B． 金屬桿加速運(yùn)動(dòng)過程中克服安培力做功的功率小于勻速運(yùn)動(dòng)過程中克服安培力做功的功率
• C． 整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中電阻R產(chǎn)生的焦耳熱為$mgh-\frac{1}{2}m{v^2}$
• D． 當(dāng)金屬桿的速度為$\frac{v}{2}$時(shí)，它的加速度大小為$\frac{gsinθ}{2}$

Answer 1

分析 本題應(yīng)根據(jù)安培力與速度的關(guān)系分析金屬棒的運(yùn)動(dòng)情況．金屬桿在加速運(yùn)動(dòng)中加速度不斷減小，根據(jù)速度圖象分析可知平均速度大于$\frac{v}{2}$；加速運(yùn)動(dòng)過程中金屬桿克服安培力做功的功率等于$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R+r}$，與速率v的平方成正比，小于勻速運(yùn)動(dòng)過程中克服安培力做功的功率；整個(gè)回路中產(chǎn)生的焦耳熱為mgh-$\frac{1}{2}$mv²，大于電阻R產(chǎn)生的焦耳熱；速度為$\frac{v}{2}$時(shí)，安培力的大小為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}•\frac{v}{2}}{R+R}$，根據(jù)牛頓第二定律求解加速度．

解答 解：A、若金屬桿勻加速運(yùn)動(dòng)，則平均速度為$\frac{v}{2}$．實(shí)際上金屬桿加速運(yùn)動(dòng)中加速度不斷減小，速度-時(shí)間圖象的斜率不斷減小，在相同時(shí)間內(nèi)金屬桿通過的位移大于勻加速運(yùn)動(dòng)通過的位移，則金屬桿的平均速度大于勻加速運(yùn)動(dòng)的平均速度$\frac{v}{2}$．故A錯(cuò)誤．
B、金屬桿克服安培力做功的功率等于P=F_安v=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R+r}$，與速率v的平方成正比，由于勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度最大，則知加速運(yùn)動(dòng)過程中金屬桿克服安培力做功的功率小于勻速運(yùn)動(dòng)過程中克服安培力做功的功率．故B正確．
C、整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中回路中產(chǎn)生的焦耳熱為$mgh-\frac{1}{2}m{v^2}$，所以R上產(chǎn)生的熱量小于$mgh-\frac{1}{2}m{v^2}$，故C錯(cuò)誤．
D、勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，金屬桿的速度大小為v，所受的安培力大小為F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，此時(shí)有mgsinθ=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$；當(dāng)金屬桿的速度為$\frac{v}{2}$時(shí)，它所受的安培力大小為 F_安′=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}•\frac{v}{2}}{R+R}$=$\frac{1}{2}$mgsinθ，根據(jù)牛頓第二定律得   mgsinθ-F_安′=ma，聯(lián)立解得 a=$\frac{gsinθ}{2}$．故D正確．
故選：BD

點(diǎn)評(píng) 解決這類問題的關(guān)鍵時(shí)分析受力情況，掌握安培力的表達(dá)式F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R+r}$，進(jìn)一步確定運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，并能正確判斷各個(gè)階段及全過程的能量轉(zhuǎn)化情況．