Question

2．如甲圖所示，水平光滑地面上用兩顆釘子（質量忽略不計）固定停放著一輛質量為M=2kg的小車，小車的四分之一圓弧軌道是光滑的，半徑為R=0.6m，在最低點B與水平軌道BC相切，視為質點的質量為m=1kg的物塊從A點正上方距A點高為h=1.2m處無初速下落，恰好落入小車圓弧軌道滑動，然后沿水平軌道滑行恰好停在軌道末端C．現去掉釘子（水平面依然光滑未被破壞）不固定小車，而讓其左側靠在豎直墻壁上，該物塊仍從原高度處無初速下落，如乙圖所示．不考慮空氣阻力和物塊落入圓弧軌道時的能量損失，已知物塊與水平軌道BC間的動摩擦因數為μ=0.1，重力加速度g取10m/s²，求：

（1）水平軌道BC長度；
（2）小車不固定時物塊再次與小車相對靜止時距小車B點的距離；
（3）兩種情況下由于摩擦系統產生的熱量之比．

Answer 1

分析 （1）當小車固定時，重力與摩擦力對物體做功，由動能定理即可求出BC的長度；
（2）物塊到達B之前機械能守恒，由此求出到達B的速度；之后小車與物塊組成的系統在水平方向的動量守恒，由此求出共同速度，由功能關系求出物塊相對于小車的位移；
（3）根據功能關系即可求出兩種情況下由于摩擦系統產生的熱量之比．

解答 解：（1）根據動能定理可得：mg（h+R）-μmgx=0-0，
代入數據解得：x=18 m．
（2）到達B點前小車不動，對物塊有：$mg（h+R）=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
得：v_B=6m/s
之后小車勻加速，物塊勻減速，二者在水平方向的動量守恒，選擇向右為正方向，則最終二者速度相同時：
mv_B=（M+m）v
得：v=$\frac{m{v}_{B}}{m+M}=\frac{1×6}{1+2}=2$m/s
系統損失的機械能轉化為內能，則：${Q}_{2}=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$=$\frac{1}{2}×1×{6}^{2}-\frac{1}{2}×（2+1）×{2}^{2}=12$J
又：Q₂=f•s_相對=μmg•s_相對
所以：${s}_{相對}=\frac{{Q}_{2}}{μmg}=\frac{12}{0.1×1×10}=12$m
即物塊相對與B點的距離是12m
（3）小車固定時摩擦系統產生的熱量：Q₁=μmgx=0.1×1×10×18=18J，小車不固定時摩擦系統產生的熱量Q₂=12J
所以：兩種情況下由于摩擦系統產生的熱量之比$\frac{{Q}_{1}}{{Q}_{2}}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}$
答：（1）水平軌道BC長度是18m；
（2）小車不固定時物塊再次與小車相對靜止時距小車B點的距離是12m；
（3）兩種情況下由于摩擦系統產生的熱量之比是3：2．

點評 本題屬于碰撞模型，考查了求速度、長度、沖量問題，分析清楚物體運動過程，應用機械能守恒定律、動量守恒定律、動量定理即可正確解題．