Question

5．如圖所示，質(zhì)量M=2$\sqrt{3}$kg的木塊A套在水平桿上，并用輕繩將木塊與質(zhì)量m=$\sqrt{3}$kg 的小球B相連．今用跟水平方向成α=30° 的力F=10$\sqrt{3}$N拉著球帶動(dòng)木塊一起向右勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)中A、B相對(duì)位置不變，取g=10m/s²．求：
（1）運(yùn)動(dòng)過(guò)程中輕繩與水平方向夾角；
（2）運(yùn)動(dòng)與水平桿間的動(dòng)摩擦因素；
（3）當(dāng) 為多大時(shí)，使球和木塊一起向右勻速運(yùn)動(dòng)的拉力最��？

Answer 1

分析 M和m分別處于平衡狀態(tài)，對(duì)m受力分析應(yīng)用平衡條件可求得θ的數(shù)值，再對(duì)M受力分析應(yīng)用平衡條件可求得木塊與水平桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)，最后對(duì)整體受力分析表示出拉力F的表達(dá)式，討論最小值即可．

解答 解：（1）對(duì)小球B進(jìn)行受力分析，設(shè)細(xì)繩對(duì)N的拉力為T(mén)由平衡條件可得：
Fcos30°=Tcosθ，F(xiàn)sin30°+Tsinθ=mg
代入數(shù)據(jù)解得：T=10$\sqrt{3}N$，tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即：θ=30°
（2）對(duì)M進(jìn)行受力分析，由平衡條件有
F_N=Tsinθ+Mg
f=Tcosθ
f=μF_N
解得：$μ=\frac{\sqrt{3}}{5}$
（3）對(duì)M、N整體進(jìn)行受力分析，由平衡條件有：
F_N+Fsinα=（M+m）g
f=Fcosα=μF_N
聯(lián)立得：Fcosα=μ（M+m）g-μFsinα
解得：$F=\frac{μ（M+m）g}{cosα+μsinα}$
令：$sinβ=\frac{1}{\sqrt{1+{μ}^{2}}}$，cosβ=$cosβ=\frac{μ}{\sqrt{1+{μ}^{2}}}$，即：tanβ=$\frac{1}{μ}$則：$F=\frac{μ（M+m）g}{（sinβcosα+cosβsinα）\sqrt{1+{μ}^{2}}}$=$F=\frac{μ（M+m）g}{sin（β+α）\sqrt{1+{μ}^{2}}}$
所以：當(dāng)α+β=90°時(shí)F有最小值．所以：tanα=μ=$\frac{\sqrt{3}}{5}$時(shí)F的值最小．即：α=arctan$\frac{\sqrt{3}}{5}$．
答：（1）運(yùn)動(dòng)過(guò)程中輕繩與水平方向夾角θ為30°；
（2）木塊與水平桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)為$\frac{\sqrt{3}}{5}$；
（3）當(dāng)α=arctan$\frac{\sqrt{3}}{5}$時(shí)，使球和木塊一起向右勻速運(yùn)動(dòng)的拉力最�。�

點(diǎn)評(píng) 本題為平衡條件的應(yīng)用問(wèn)題，選擇好合適的研究對(duì)象受力分析后應(yīng)用平衡條件求解即可，難點(diǎn)在于研究對(duì)象的選擇和應(yīng)用數(shù)學(xué)方法討論拉力F的最小值，難度不小，需要細(xì)細(xì)品味．