Question

7．如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy中，ABCD矩形區(qū)域內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（OD邊上無(wú)磁場(chǎng)，OA邊上有磁場(chǎng)），其中A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，a）和（0，-a），B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（$\sqrt{3}$a，a）和（$\sqrt{3}$a，-a）；在半徑為a、圓心坐標(biāo)為（-a，0）的圓形區(qū)域內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度為2B₀的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩個(gè)區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)方向均垂直紙面向里．在-a≤x≤0的區(qū)域均勻分布有大量質(zhì)量為m、帶電荷量為-q的粒子，粒子均以相同的速度沿y軸正方向射向圓形磁場(chǎng)，最后粒子都進(jìn)入矩形磁場(chǎng)，已知朝著圓心（-a，0）射入的粒子剛好從O點(diǎn)沿x軸正方向進(jìn)入矩形磁場(chǎng)．不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用．求：
（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度v的大��；
（2）從B點(diǎn)射出的粒子在射入矩形磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與y軸正方向夾角θ；
（3）從AB邊射出的粒子數(shù)與粒子總數(shù)的比值k．

Answer 1

分析 （!）粒子僅在洛倫茲力作用下，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律可求出運(yùn)動(dòng)的半徑大小．再根據(jù)幾何關(guān)系，聯(lián)立求得粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度；
（2）先證明射入圓形磁場(chǎng)的粒子從O點(diǎn)進(jìn)入矩形磁場(chǎng)區(qū)域，在矩形磁場(chǎng)區(qū)域中由半徑公式$R=\frac{mv}{qB}$，在矩形磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑是圓形磁場(chǎng)中圓周遠(yuǎn)動(dòng)半徑的2倍，
即R′=2a，作出軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出角度
（3）求出粒子恰好從B點(diǎn)射出時(shí)與y軸的夾角θ，當(dāng)夾角小于等于θ時(shí)，有粒子從AB邊射出，再求出從B點(diǎn)射出的粒子進(jìn)入圓形磁場(chǎng)的位置x，再求出比值$k=\frac{|x|}{a}$，

解答 解：（1）根據(jù)題意，朝著圓形磁場(chǎng)圓心（-a，0）射入的粒子剛好從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿x軸進(jìn)入矩形磁區(qū)域，則其在圓形磁場(chǎng)內(nèi)的軌跡恰為四分之一圓周，有：$qv•（2{B_0}）=m\frac{v^2}{R}$…①
R=a…②
聯(lián)解①②得：$v=\frac{{2aq{B_0}}}{m}$…③
（2）設(shè)某粒子從圓形磁場(chǎng)邊界上的P點(diǎn)射入，并從Q點(diǎn)射出，軌跡如圖甲所示，圓心為O₁，圓形磁場(chǎng)的圓心為O₂，則O₂Q=O₂P=O₁Q=O₁P=a，即四邊形O₁QO₂P為菱形，O₂Q∥PO₁∥x軸，故Q點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，即射入圓形磁場(chǎng)的粒子均從O點(diǎn)進(jìn)入矩形磁場(chǎng)的第一象限區(qū)域內(nèi)（包括x軸正方向）．
…④
粒子在矩形磁場(chǎng)中受洛倫茲力作用做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)其軌道半徑為R′，有：$q{B_0}v=m\frac{v^2}{R'}$…⑤
解⑤得：R'=2a…⑥
由幾何關(guān)系知：$\overline{OC}=\overline{BC}=2a$…⑦
即粒子從B點(diǎn)離開(kāi)矩形磁場(chǎng)時(shí)對(duì)應(yīng)的軌跡圓心為C點(diǎn)，作出軌跡如圖乙所示．

由圖乙?guī)缀侮P(guān)系知：∠OCD=θ…⑧
$sin∠OCD=\frac{{\overline{OD}}}{{\overline{OC}}}$…⑨
聯(lián)解⑧⑨得：
θ=30°…⑩
（3）根據(jù)圖乙知，粒子能從AB邊射出，則其射入矩形磁場(chǎng)的速度方向與y軸正方向的夾角應(yīng)小于或等于θ．根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性，則從B點(diǎn)射出的粒子射入圓形磁場(chǎng)位置的橫坐標(biāo)為：x'=-R（1-cosθ）…⑪
$k=\frac{{|{x'}|}}{a}$…⑫
聯(lián)解⑪⑫得：$k=\frac{{2-\sqrt{3}}}{2}$…⑬
答：（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度v的大小為$\frac{2aq{B}_{0}^{\;}}{m}$；
（2）從B點(diǎn)射出的粒子在射入矩形磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與y軸正方向夾角θ為30°；
（3）從AB邊射出的粒子數(shù)與粒子總數(shù)的比值k為$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，第一問(wèn)很基礎(chǔ)，第二問(wèn)有一定的難度，關(guān)鍵是找出粒子進(jìn)入矩形磁場(chǎng)的位置，關(guān)鍵作出軌跡圖，確定圓心、半徑和圓心角，本題對(duì)數(shù)學(xué)幾何能力的要求較高，需加強(qiáng)訓(xùn)練．