Question

5．如圖所示，一長為L的木板A放置在水平地面上，木板的兩端分別放置著B．C兩小塊，三者質(zhì)量分別為m_A=3m．m_B=2m和m_c=m，A與地面、B與A、C與A間的動摩擦因數(shù)分別為$\frac{μ}{6}$、μ和2μ，開始時三者均靜止，現(xiàn)給物塊B一水平向右的初速度v₀（v₀=$\sqrt{\frac{5μgL}{8}}$），同時給物塊C一向左的水平拉力F（F=3μmg），設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g，試求：
（1）經(jīng)過多長時間木板A開始運動；
（2）從A開始運動至B與C相遇的時間．

Answer 1

分析 （1）先求出各接觸面上的最大靜摩擦力，B開始運動時，假定把A與C看成整體，通過分析受力判斷出A處于靜止狀態(tài)．由牛頓第二定律求出B和C的加速度，當B的速度減為零時，分析可以知道C對A的摩擦力大于地面對A的最大靜摩擦力，此時A和B共同向左運動，由速度公式求時間．
（2）分析三個物體的運動情況，分段求出各自的位移，結合位移關系求從A開始運動至B與C相遇的時間．

解答 解：（1）各接觸面上的最大靜摩擦力分別為：f_Am=$\frac{1}{6}$μ×6mg=μmg，f_Bm=f_Cm=2μmg
B開始運動時，假定把A與C看成整體，整體水平方向所受合力為零，而：F=3μmg＞f_Bm
故開始時C向左運動，A扔處于靜止狀態(tài)
設此時B、C的加速度大小分別為a_B、a_C．
由牛頓第二定律：
對B有：2μmg=2ma_B
對C有：3μmg-2μmg=ma_C
解得：a_B=a_C=μg
當B的速度減為零時，分析可以知道C對A的摩擦力大于地面對A的最大靜摩擦力，此時A和B共同向左運動，因此A由靜止開始運動需經(jīng)過時間為：
   t₁=$\frac{{v}_{0}}{μg}$=$\sqrt{\frac{5L}{8μg}}$．
（2）設A板開始運動前B、C的位移大小分別為x_B、x_C，由運動學公式得到：
   x_B=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{B}}$=$\frac{5L}{16}$
因B和C的運動反向?qū)ΨQ，故x_C=x_B=$\frac{5L}{16}$
且B的速度減為零時，C的速度 v_C=v₀
A與B共同向左作勻加速運動的過程中，對A、B整體，由牛頓第二定律可得：
     a_AB=$\frac{2μmg-\frac{1}{6}×6μmg}{5m}$=$\frac{1}{5}$μg
設再經(jīng)過時間t，B與C相遇，此過程中B、C所運動的位移分別為x_B′、x_C′，由運動學公式可以得到：
  x_C′-x_B′=L-x_B-x_C
即：v₀t+$\frac{1}{2}{a}_{C}{t}^{2}$-$\frac{1}{2}{a}_{AB}{t}^{2}$=L-2×$\frac{5L}{16}$
把L=$\frac{8{v}_{0}^{2}}{5μg}$代入上式可以得到：2（μg）²t²+5μgv₀t-3${v}_{0}^{2}$=0
解得：t=$\frac{{v}_{0}}{2μg}$=$\sqrt{\frac{5L}{32μg}}$．
答：
（1）經(jīng)過$\sqrt{\frac{5L}{8μg}}$時間木板A開始運動；
（2）從A開始運動至B與C相遇的時間是$\sqrt{\frac{5L}{32μg}}$．

點評 本題的關鍵要求同學們能正確分析物體的受力情況和運動情況，分段運用牛頓第二定律和運動學公式進行研究，分析時要注意判斷A的運動狀態(tài)．