Question

5．如圖所示，質(zhì)量均為m的物體B、C分別與輕質(zhì)彈簧的兩端相栓接，將它們放在光滑水平面上，靜止時(shí)彈簧的形變量為x₀．將質(zhì)量也為m的物體A從B的正上方某點(diǎn)由靜止釋放，A與B相碰．已知重力加速度為g，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，不計(jì)空氣阻力．求：
（1）彈簧的勁度系數(shù)k；
（2）若A與B相碰后粘連在一起開(kāi)始做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A與B第一次運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，C對(duì)地面的壓力恰好為零，求C對(duì)地面壓力的最大值；
（3）若將A從另一位置由靜止釋放，A與B相碰后不粘連，但仍立即一起運(yùn)動(dòng)，且當(dāng)B第一次運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，C對(duì)地面的壓力也恰好為零．已知A與B相碰后彈簧第一次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)B的速度大小為v=$\sqrt{1.5g{x}_{0}}$，求相碰后A第一次運(yùn)動(dòng)達(dá)到的最高點(diǎn)與開(kāi)始靜止釋放點(diǎn)之間的距離．

Answer 1

分析 （1）對(duì)B進(jìn)行受力分析，由平衡條件求出彈簧的勁度系數(shù)．
（2）根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)求出回復(fù)力，然后應(yīng)用平衡條件、牛頓第三定律求出C對(duì)地面的最大壓力．
（3）對(duì)A應(yīng)用機(jī)械能守恒定律求出A、B碰撞前A的速度，由動(dòng)量守恒定律求出碰撞后A、B的速度，對(duì)A與B組成的系統(tǒng)、B與C組成的系統(tǒng)、對(duì)A、對(duì)B應(yīng)用機(jī)械能守恒定律，分析答題．

解答 解：（1）物體B靜止時(shí)，彈簧形變量為x₀，彈簧的彈力F=mg，根據(jù)胡克定律得：F=kx₀，即有kx₀=mg，解得，彈簧的勁度系數(shù)k=$\frac{mg}{{x}_{0}}$；
（2）A與B碰后一起做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，物體C對(duì)地面的壓力為0，則：
對(duì)C，彈簧彈力：F_彈=mg
對(duì)A、B，回復(fù)力最大：F_回=2mg+F_彈=3mg
由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性，可知A與B碰后一起做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，回復(fù)力也最大，為F_回=3mg，此時(shí)物體C對(duì)地面的壓力最大，對(duì)物體A、B有：F_彈′-2mg=3mg，
則彈簧彈力：F_彈′=5mg
對(duì)物體C，設(shè)地面對(duì)物體C的彈力為N，則：N=5mg+mg=6mg，
由牛頓第三定律可知，C對(duì)地面最大的壓力大�。篘′=N=6mg．
（3）設(shè)物體A釋放時(shí)A與B之間距離為x，A與B相碰前物體A速度的大小為v₁．
對(duì)物體A，從開(kāi)始下滑到A、B相碰前的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得：
 mgx=$\frac{1}{2}$mv₁²，
解得：v₁=$\sqrt{2gx}$…①
設(shè)A與B相碰后兩物體共同速度的大小為v₂，A與B發(fā)生碰撞的過(guò)程動(dòng)量守恒，
以碰前A的速度方向?yàn)檎�方向，由�?dòng)量守恒定律得：mv₁=（m+m）v₂，
解得：v₂=$\frac{1}{2}$v₁…②，
物體B靜止時(shí)彈簧的形變量為x₀，設(shè)彈性勢(shì)能為E_P，從A、B開(kāi)始?jí)嚎s彈簧到彈簧第一次恢復(fù)原長(zhǎng)的過(guò)程，
由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$（m+m）v₂²+E_P=$\frac{1}{2}$（m+m）v²+（m+m）gx₀…③，
當(dāng)彈簧第一次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)A、B恰好分離，設(shè)分離后物體A還能沿斜面上升的距離為x₁．
對(duì)物體A，從與B分離到最高點(diǎn)的過(guò)程，機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv²=mgx₁
解得：x₁=1.5x₀，
對(duì)物體B、C和彈簧所組成的系統(tǒng)，物體B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)速度為0，
物體C恰好離開(kāi)擋板D，此時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量也為x₀，彈簧的彈性勢(shì)能也為E_P．從A、B分離到B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程，
由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv²=mgx₀+E_P，
解得：E_P=$\frac{1}{4}mg{x}_{0}$…④，
由①②③④解得：x=9x₀，
由幾何關(guān)系可得，物體A第一次運(yùn)動(dòng)達(dá)到的最高點(diǎn)與開(kāi)始靜止釋放點(diǎn)之間的距離：
  d=x-x₁-x₀=6.5x₀．           
答：
（1）彈簧的勁度系數(shù)k=$\frac{mg}{{x}_{0}}$；
（2）C對(duì)擋板D壓力的最大值為6mg；
（3）碰后A第一次運(yùn)動(dòng)達(dá)到的最高點(diǎn)與開(kāi)始靜止釋放點(diǎn)之間的距離為6.5x₀．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵是認(rèn)真分析物理過(guò)程，把復(fù)雜的物理過(guò)程分成幾個(gè)小過(guò)程并且找到每個(gè)過(guò)程遵守的物理規(guī)律，列出相應(yīng)的物理方程解題．是一道全面考查動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒的比較困難又容易出錯(cuò)的好題．