Question

4．如圖a所示，A、B為光滑水平地面上相距d的兩擋板，在A、B的之間有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)P．若在P上加上如圖b所示隨時(shí)間t變化的作用力F（取向右為F的正方向），在t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)P位于A、B間的中點(diǎn)處且初速為0．已知質(zhì)點(diǎn)P能在A、B之間以最大的幅度運(yùn)動(dòng)而不與兩板相碰，且質(zhì)點(diǎn)P開(kāi)始從中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最右邊，及以后每次從最左邊到最右邊或從最右邊到最左邊的過(guò)程中，力F只改變一次．
（1）求質(zhì)點(diǎn)P從AB的中點(diǎn)從靜止開(kāi)始出發(fā)第一次運(yùn)動(dòng)到最右點(diǎn)的時(shí)間t；
（2）求圖b中時(shí)刻t₂、t₃和t_n的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）質(zhì)點(diǎn)從B板向A板先做加速運(yùn)動(dòng)，后做減速運(yùn)動(dòng)，位移之和等于$\frac{1}{2}$d，由速度公式和位移公式列式求解t的表達(dá)式．
（2）尋找每次加速和減速的規(guī)律，得出t_n的表達(dá)式．

解答 解：（1）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)加速度大小a=$\frac{F}{m}$=g
在t=0時(shí)，P自A、B間的中點(diǎn)向右作初速為0的勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度為g．經(jīng)過(guò)時(shí)間t₁，P的速度變?yōu)関₁，此時(shí)加速度變?yōu)橄蜃�，P向右作勻減速運(yùn)動(dòng)，再經(jīng)過(guò)t₁，P正好達(dá)到B板且速度變?yōu)?．故有
v₁₌g t₁
0=v₁-gt₁
$\frac{1}{2}$d=$\frac{1}{2}$gt${\;}_{1}^{2}$+v₁t₁-$\frac{1}{2}$gt${\;}_{1}^{2}$
由以上各式得t₁=t₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{\fracq6ckm6i{g}}$
得t=t₁+t₁=$\sqrt{2}$$\sqrt{\fracqu8soyw{g}}$
（2）P由B板處向左做勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t₂，P的速度變?yōu)関₂，方向向左．此時(shí)加速度變?yōu)橄蛴�，P向左作勻減速運(yùn)動(dòng)，再經(jīng)過(guò)t₃，P正好達(dá)到A板且速度變?yōu)?．故有
v₂=gt₂
0=v₂-gt₃
d=$\frac{1}{2}$gt${\;}_{2}^{2}$+v₂t₃-$\frac{1}{2}$gt${\;}_{3}^{2}$
由以上各式得   t₂=t₃=$\sqrt{\frac4e2oo4w{g}}$
則 t₂=t₁+t₁+t₂=（$\sqrt{2}$+1）$\sqrt{\fracksacsm4{g}}$
質(zhì)點(diǎn)P又由A板向右作勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t₄，速度變?yōu)関₃，此時(shí)加速度變?yōu)橄蜃螅琍向右作勻減速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)t₅，P正好達(dá)到B板且速度變?yōu)?．故有
v₃=gt₄
0=v₃-gt₅
d=$\frac{1}{2}$gt${\;}_{4}^{2}$+v₃t₅-$\frac{1}{2}$gt${\;}_{5}^{2}$
由上得 t₄=t₅=$\sqrt{\fracikei68i{g}}$
t₃=t₂+t₃+t₄=（$\sqrt{2}$+3）$\sqrt{\fracwik44io{g}}$
根據(jù)上面分析，除第一次P從中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最右點(diǎn)外，以后每次從從最左邊到最右邊或從最右邊到最左邊的運(yùn)動(dòng)，都是先做勻加速運(yùn)動(dòng)，再做勻減速運(yùn)動(dòng)，且每次勻加速運(yùn)動(dòng)和勻減速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，即
t₂=t₃=t₄=t₅=…=$\sqrt{\frac4smgcsa{g}}$
則t_n=t+（2n-3）t₂  （n≥2）
得t_n=（$\sqrt{2}$+2n-3$\sqrt{\fracc46uyca{g}}$      （n≥2）
答：（1）質(zhì)點(diǎn)P從AB的中點(diǎn)從靜止開(kāi)始出發(fā)第一次運(yùn)動(dòng)到最右點(diǎn)的時(shí)間t為$\sqrt{2}\sqrt{\fracoeq4iwk{g}}$；
（2）圖b中時(shí)刻${t}_{2}^{\;}、{t}_{3}^{\;}、{t}_{n}^{\;}$的表達(dá)式${t}_{2}^{\;}=\sqrt{\fraccwyaqew{g}}$、${t}_{3}^{\;}=（\sqrt{2}+3）\sqrt{\fracosiaucu{g}}$、${t}_{n}^{\;}=（\sqrt{2}+2n-3）\sqrt{\frac64akugk{g}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是質(zhì)點(diǎn)在周期性變化的作用力作用下的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況、把握運(yùn)動(dòng)規(guī)律是關(guān)鍵．