Question

16．如圖所示，一質量為m的質點，在一無摩擦的半徑為R的豎直環(huán)形細圓管軌道上運動，通過最高點時的速度為v=$\sqrt{\frac{4}{5}Rg}$，g是重力加速度，則下列敘述正確的是（　�。�

• A． 質點運動過程中機械能守恒
• B． 質點運動的最大速率為$\sqrt{6}v$
• C． 在最高點處，軌道對質點作用力的大小為$\frac{4}{5}$mg
• D． 在任一條直徑的兩個端點上，質點的動能之和不變

Answer 1

分析 圓管軌道沒有摩擦，質點在軌道內運動，只有重力做功，機械能守恒，應用機械能守恒定律可以分析答題．

解答 解：A、圓管軌道沒有摩擦，質點在運動過程中只有重力做功，質點的機械能守恒，故A正確；
B、質點機械能守恒，質點在最低點速度最大，質點從最高點到最低點運動過程中，由機械能守恒定律得：
mg•2R+$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$mv′²，解得，質點的最大速度v′=$\sqrt{\frac{24}{5}Rg}$=$\sqrt{\frac{4}{5}Rg×6}$=$\sqrt{6}$v，故B正確；
C、在最高點，由牛頓第二定律得：mg-F=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得，F(xiàn)=0.2mg，方向豎直向上，故C錯誤；
D、以過圓管軌道圓心的水平直徑所在平面為零勢面，質點機械能：E=mgR+$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{7}{5}$mgR，
質點在任意一條直徑上，到零勢面的高度大小相等，一個在零勢面上，一個在零勢面下，
由機械能守恒定律得：質點在一直徑上一端時，動能E_K=E+mgh，質點在直徑另一端時，
動能E_K′=E-mgh，則質點在任一條直徑的兩個端點上，質點的動能之和E_K+E_K′=2E=$\frac{14}{5}$mgR，是定值，故D正確；
故選：ABD．

點評 只有重力或只有彈力做功時，系統(tǒng)機械能守恒，由題意可知，圓管軌道沒有摩擦，則質點在運動過程中只有重力做功，質點的機械能守恒，由機械能守恒定律即可正確解題．