Question

6．如圖所示，在豎直平面內，由傾斜軌道AB、水平軌道BC和半圓形軌道CD連接而成的組合軌道，AB與CD光滑，BC軌道粗糙，動摩擦因數μ=0.1，AB與BC的連接處是半徑很小的圓弧，BC與CD相切，圓形軌道CD的半徑為R=2m．質量為m=1kg的小物塊從傾斜軌道上距水平面高為h=10m處由靜止開始下滑，恰好通過圓弧形的最高點D（g=10m/s²）求：
（1）小物塊通過B點時速度v_B的大��；
（2）小物塊通過圓形軌道最低點C時圓形軌道對物塊的支持力F的大�。� 
（3）水平軌道BC的長度．

Answer 1

分析 （1）對于物塊在斜面下滑的過程，由機械能守恒定律即可求得物體通過B點時的速度；
（2）物塊恰好通過圓弧形的最高點D時由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出D點的速度，再由動能定理求解物塊通過C點時速度v_C的大小，由牛頓第二定律可求得支持力F的大�。�
（3）對于BC段，運用動能定理即可求得BC長度．

解答 解：（1）物塊從A點運動到B點的過程中，由機械能守恒得
  mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得：v_B=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×10}$=10$\sqrt{2}$m/s
（2）物塊恰好通過圓弧形的最高點D時由重力提供向心力，由牛頓第二定律得：
  mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
可得 v_D=$\sqrt{gR}$
物塊從C至B過程，由機械能守恒得：
  mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
聯立解得 v_C=$\sqrt{5gR}$=$\sqrt{5×10×2}$=10m/s
在C點，由牛頓第二定律得：F-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，解得 F=6mg=60N
（3）從B到C，由動能定理得：-μmgs_BC=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得 s_BC=50m
答：
（1）小物塊通過B點時速度v_B的大小是10$\sqrt{2}$m/s；
（2）小物塊通過圓形軌道最低點C時圓形軌道對物塊的支持力F的大小是60N； 
（3）水平軌道BC的長度是50m．

點評 本題考查動能定理及豎直面內的圓周運動，選擇合適的過程，并注意豎直面內圓周運動的臨界條件即可求解．