Question

19．在如圖所示的x-o-y坐標(biāo)系中，y＞0的區(qū)域內(nèi)存在著沿y軸正方向、場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，y＜0的區(qū)域內(nèi)存在著垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．一帶電粒子從y軸上的P（0，h）點(diǎn)以沿x軸正方向的初速度射出，恰好能通過(guò)x軸上的D（d，0）點(diǎn)．己知帶電粒子的質(zhì)量為m，帶電量為-q．h、d、q均大于0．不計(jì)重力的影響．
（1）若粒子只在電場(chǎng)作用下直接到達(dá)D點(diǎn)，求粒子初速度的大小v₀；
（2）若粒子在第二次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)到達(dá)D點(diǎn)，求粒子初速度的大小v₀
（3）若粒子經(jīng)過(guò)電場(chǎng)和磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)后能到達(dá)D點(diǎn)，求粒子初速度大小v₀應(yīng)滿(mǎn)足的條件．

Answer 1

分析 （1）粒子只在電場(chǎng)作用下直接到達(dá)D點(diǎn)，粒子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求粒子初速度v₀；
（2）若粒子在第二次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)到達(dá)D點(diǎn)，先經(jīng)過(guò)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)，后進(jìn)入磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫(huà)出軌跡，由幾何知識(shí)求出圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，由牛頓第二定律求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度，結(jié)合類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，求初速度．
（3）若粒子在從電場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)到達(dá)D點(diǎn)，粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中做周期性運(yùn)動(dòng)，畫(huà)出軌跡，由幾何關(guān)系求得半徑通項(xiàng)，再求解磁場(chǎng)中速度通項(xiàng)，即可求出初速度．

解答 解：（1）粒子只在電場(chǎng)作用下直接到達(dá)D點(diǎn)，設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，粒子沿x方向做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，則有：x=v₀t…①
沿y方向做初速度為0的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，則有：h=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$…②
加速度為：a=$\frac{qE}{m}$…③
粒子只在電場(chǎng)作用下直接到達(dá)D點(diǎn)的條件為：x=d…④
聯(lián)立①②③④得：v₀=d$\sqrt{\frac{qE}{2mh}}$
（2）粒子在第二次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)到達(dá)D點(diǎn)，其軌跡如右圖所示．設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度大小為v，v與x軸的夾角為θ，軌跡半徑為R，則
  vsinθ=at…⑤
  qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…⑥
粒子第二次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)到達(dá)D點(diǎn)的條件為：x-2Rsinθ=d…⑦
解①②③⑤⑥⑦得：v₀=d$\sqrt{\frac{qE}{2mh}}$+$\frac{2E}{B}$   
（3）粒子在從電場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)到達(dá)D點(diǎn)，其軌跡如右圖所示．
根據(jù)運(yùn)動(dòng)對(duì)稱(chēng)性可知：QN=2OM=2 x                         
粒子在從電場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)到達(dá)D點(diǎn)的條件為：
x+n（2x-2Rsinθ）=d…⑧
其中n為非負(fù)整數(shù)．
聯(lián)立①②③⑤⑥⑧得：v₀=$\fracbyzssq1{2n+1}$$\sqrt{\frac{qE}{2mh}}$+$\frac{n}{2n+1}$•$\frac{2E}{B}$ 
答：（1）若粒子只在電場(chǎng)作用下直接到達(dá)D點(diǎn)，粒子初速度的大小v₀為d$\sqrt{\frac{qE}{2mh}}$．
（2）若粒子在第二次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)到達(dá)D點(diǎn)，粒子初速度的大小v₀為d$\sqrt{\frac{qE}{2mh}}$+$\frac{2E}{B}$．
（3）若粒子在從電場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)到達(dá)D點(diǎn)，粒子初速度的大小v₀為$\frac2nycpjn{2n+1}$$\sqrt{\frac{qE}{2mh}}$+$\frac{n}{2n+1}$•$\frac{2E}{B}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了帶電粒子在混合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，要求同學(xué)們能正確分析粒子的受力情況，再通過(guò)受力情況分析粒子的運(yùn)動(dòng)情況，熟練掌握平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的基本公式，并結(jié)合幾何關(guān)系解題．