Question

7．2017年1月24日，報道稱，俄航天集團決定將“質(zhì)子-M”運載火箭的發(fā)動機召回沃羅涅日機械制造廠．若該火箭從P點發(fā)射后不久就失去了動力，火箭到達(dá)最高點M后又返回地面的Q點，并發(fā)生了爆炸．已知引力常量為G，地球半徑為R．不計空氣阻力，下列說法正確的是（　�。�

• A． 火箭在整個運動過程中，在M點的速率最大
• B． 火箭在整個運動過程中，在M點的速率小于7.9 km/s
• C． 火箭從M點運動到Q點（爆炸前）的過程中，火箭的機械能守恒
• D． 已知火箭在M點的速度為v，M點到地球表面的距離為h，則可求出地球的質(zhì)量

Answer 1

分析 由火箭只受萬有引力作用得到機械能守恒，進而得到最大速度的位置；再根據(jù)火箭在M點做向心運動得到速度范圍，進而根據(jù)機械能守恒得到火箭運動過程最大速度的范圍．

解答 解：A、火箭在整個運動過程中，只受萬有引力作用，方向指向地心，故火箭在PM運動過程中，萬有引力做負(fù)功，速度減小；在MQ運動過程中，萬有引力做正功，速度增大，所以，在M點的速率最小，故A錯誤；
C、火箭在整個運動過程中，只受萬有引力作用，那么，火箭的機械能守恒，故C正確；
B、設(shè)M點距離地表高度為h，那么火箭在M點做向心運動，所以，萬有引力大于向心力，即$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}＞\frac{m{v}^{2}}{R+h}$，所以，$\frac{1}{2}m{v}^{2}＜\frac{GMm}{2（R+h）}$；
在地球表面，萬有引力即重力，所以有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$；萬有引力做向心力則有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=\frac{m{v′}^{2}}{R}$，那么，由第一宇宙速度的定義可：知v′=7.9km/s，$\frac{1}{2}mv{′}^{2}=\frac{GMm}{2R}$；
火箭只受萬有引力$\frac{GMm}{{r}^{2}}$的作用，那么以無窮遠(yuǎn)為勢能零點，則任一位置的勢能為$-\frac{GMm}{r}$；
那么由C可知，火箭的機械能守恒，所以，火箭在Q點的動能為：$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{GMm}{R+h}+\frac{GMm}{R}$$＜\frac{GMm}{R}-\frac{GMm}{2（R+h）}$=$\frac{GMm}{2R}•\frac{R+2h}{R+h}$$≈\frac{GMm}{2R}$（h相對R來說，極小）；所以，火箭在整個運動過程中，在M點的速率小于7.9 km/s，故B正確；
D、火箭在整個運動過程中，只受萬有引力作用，又有火箭在M點做向心運動，萬有引力大于向心力，所以，不能求得地球質(zhì)量，故D錯誤；
故選：BC．

點評 天體運動，衛(wèi)星運動一般都是利用合外力為萬有引力，然后根據(jù)向心力的變化得到運動狀態(tài)的變化