Question

8．如圖所示，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點(diǎn)，自然狀態(tài)時(shí)其右端位于B點(diǎn)．水平桌面右側(cè)某一位置有一豎直放置的光滑圓弧軌道MNP，且形狀為半徑R=0.8m的圓環(huán)剪去了左上角的135°的圓弧，MN為其豎直直徑，P點(diǎn)到桌面的豎直距離也是R．如用質(zhì)量m₁=0.4kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)，釋放后物塊恰停止在B點(diǎn)．用同種材料、質(zhì)量為m₂=0.2kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)，釋放后物塊過B點(diǎn)后其位移與時(shí)間關(guān)系為x=6t-2t²（物塊飛離后由P點(diǎn)沿切線滑入光滑圓軌道，不計(jì)空氣阻力，g=10m/s²，求：

（1）物塊運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)速度的大小和方向．
（2）判斷m₂能否沿圓軌道到達(dá)M點(diǎn)．
（3）釋放后m₂運(yùn)動(dòng)過程中克服摩擦力做的功．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)物體做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的分解，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，即可求解；
（2）根據(jù)動(dòng)能定理與牛頓第二定律，即可求解；
（3）根據(jù)能量守恒定律，結(jié)合摩擦力做功，即可求解．

解答 解：（1）設(shè)物塊由D點(diǎn)以初速度v_D做平拋運(yùn)動(dòng)，落到P點(diǎn)時(shí)其豎直速度為：
v_y²=2gR   
得：v_D=v_y=4 m/s
所以到P的速度為：v_P=4$\sqrt{2}$m/s
方向與水平方向夾角為45°．
（2）若物塊能沿軌道到達(dá)M點(diǎn)，其速度為v_M，根據(jù)動(dòng)能定理，則有：
$\frac{1}{2}$m₂v²_M=$\frac{1}{2}$m₂v²_D-$\frac{\sqrt{2}}{2}$m₂gR   
軌道對(duì)物塊的壓M點(diǎn)．力為F_N，則有：
F_N+m₂g=m₂$\frac{{v}_{M}^{2}}{R}$
解得：F_N=（1-$\sqrt{2}$）m₂g＜0
即物塊不能到達(dá)M點(diǎn)．
（3）設(shè)彈簧長(zhǎng)為AC時(shí)的彈性勢(shì)能為E_p，物塊與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，釋放m₁時(shí)，有：E_p=μm₁gs_CB
釋放m₂時(shí)，有：E_p=μm₂gs_CB+$\frac{1}{2}$m₂v²₀
代入數(shù)據(jù)解得：E_p=2.4J
m₂在桌面上運(yùn)動(dòng)過程中克服摩擦力做功為W_f，則有：
E_p-W_f=$\frac{1}{2}$m₂v²_D 
代入數(shù)據(jù)可得：W_f=1.6J．
答：（1）物塊運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)速度的大小4$\sqrt{2}$m/s，方向與水平方向夾角為45°．
（2）m₂不能沿圓軌道到達(dá)M點(diǎn)．
（3）釋放后m₂運(yùn)動(dòng)過程中克服摩擦力做的功1.6 J．

點(diǎn)評(píng) 該題涉及到多個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，既要分析各個(gè)過程的規(guī)律，同時(shí)要把握每個(gè)過程之間的聯(lián)系，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律、平拋運(yùn)動(dòng)基本公式、圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式等知識(shí)解答．