Question

20．2012年初，我國(guó)宣布北斗導(dǎo)航系統(tǒng)正式商業(yè)運(yùn)行．北斗導(dǎo)航系統(tǒng)又稱(chēng)為“雙星定位系統(tǒng)”，具有導(dǎo)航、定位等功能．“北斗”系統(tǒng)中兩顆工作星均繞地心O做軌道半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻兩顆工作星分別位于軌道上的A、B兩位置（如圖所示）．若衛(wèi)星均順時(shí)針運(yùn)行，地球表面處的重力加速度為g，地球半徑為R，不計(jì)兩星間的相互作用力．以下判斷正確的是（　�。�

• A． 衛(wèi)星1向后噴氣一定能追上衛(wèi)星2
• B． 衛(wèi)星1由位置A運(yùn)動(dòng)到位置B的過(guò)程中萬(wàn)有引力做正功
• C． 衛(wèi)星1由位置A運(yùn)動(dòng)至位置B所需的時(shí)間為$\frac{2rπ}{3gR}\sqrt{gr}$
• D． 這兩顆衛(wèi)星的加速度大小相等，均為$\frac{{g{R^2}}}{r^2}$

Answer 1

分析 由$\frac{GMm}{{r}_{\;}^{2}}$=$\frac{{mv}_{\;}^{2}}{r}$=$mr（\frac{2π}{{T}_{\;}^{\;}}）_{\;}^{2}$，可得出r相同則速度v大小相等，v變大則r變大（做離心運(yùn)動(dòng)），再結(jié)合$\frac{GMm}{{R}_{\;}^{2}}$=mg即GM=g${R}_{\;}^{2}$（黃金代換），即可求解．

解答 解：A、若衛(wèi)星1向后噴氣，則其速度會(huì)增大，衛(wèi)星1將做離心運(yùn)動(dòng)，所以衛(wèi)星1不可能追上衛(wèi)星2．故A錯(cuò)誤；
B、衛(wèi)星1由位置A運(yùn)動(dòng)到位置B的過(guò)程中，由于萬(wàn)有引力始終與速度垂直，故萬(wàn)有引力不做功，故B錯(cuò)誤．
C、根據(jù)$\frac{GMm}{{r}_{\;}^{2}}$=mr$（\frac{2π}{T}）_{\;}^{2}$得，T=$\sqrt{\frac{{{4π}_{\;}^{2}r}_{\;}^{3}}{GM}}$①，又GM=g${R}_{\;}^{2}$②，t=$\frac{1}{6}T$③，聯(lián)立①②③可解得t=$\frac{πr}{3R}\sqrt{\frac{r}{g}}$．故C錯(cuò)誤；
D、根據(jù)${F}_{合}^{\;}$=ma得，對(duì)衛(wèi)星有$\frac{GMm}{{r}_{\;}^{2}}$=ma，可得a=$\frac{GM}{{r}_{\;}^{2}}$，取地面一物體由$\frac{GMm}{{R}_{\;}^{2}}$=mg，聯(lián)立解得a=$\frac{{R}_{\;}^{2}g}{{r}_{\;}^{2}}$，故D正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 關(guān)于做圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星類(lèi)問(wèn)題，要靈活運(yùn)用兩個(gè)公式$\frac{GMm}{{r}_{\;}^{2}}$=$\frac{{mv}_{\;}^{2}}{r}$=mr$（\frac{2π}{{T}_{\;}^{\;}}）_{\;}^{2}$，$\frac{GMm}{{R}_{\;}^{2}}$=mg，注意衛(wèi)星若加速則做離心運(yùn)動(dòng)，減速則做向心運(yùn)動(dòng)．