Question

20．已知地球質(zhì)量大約是月球質(zhì)量的81倍，地球半徑大約是月球半徑的4倍．不考慮地球、月球自轉(zhuǎn)的影響，由以上數(shù)據(jù)可推算出（　�。�

• A． 地球的平均密度與月球的平均密度之比約為9：8
• B． 地球表面重力加速度與月球表面重力加速度之比約為81：16
• C． 靠近地球表面沿圓軌道運行的航天器的周期與靠近月球表面沿圓軌道運行的航天器的周期之比約為8：9
• D． 地球的第一宇宙速度與月球的第一宇宙速度之比為81：4

Answer 1

分析 根據(jù)質(zhì)量之比和體積之比求出平均密度之比．根據(jù)萬有引力等于重力，結(jié)合地球和月球的半徑之比和質(zhì)量之比求出表面的重力加速度之比．根據(jù)萬有引力提供向心力得出周期之比、第一宇宙速度之比．

解答 解：A、根據(jù)$ρ=\frac{M}{V}=\frac{M}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$，因為地球質(zhì)量與月球質(zhì)量之比為81：1，半徑之比為4：1，則體積之比64：1，可知地球的平均密度和月球的平均密度之比為81：64，故A錯誤．
B、根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，表面的重力加速度g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，因為地球質(zhì)量與月球質(zhì)量之比為81：1，半徑之比為4：1，則地球表面重力加速度與月球表面重力加速度之比約為81：16，故B正確．
C、根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，周期T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{GM}}$，因為半徑之比為4：1，質(zhì)量之比為81：1，則靠近地球表面沿圓軌道運行的航天器的周期與靠近月球表面沿圓軌道運行的航天器的周期之比約為8：9，故C正確．
D、根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$得，第一宇宙速度v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，因為半徑之比為4：1，質(zhì)量之比為81：1，則地球的第一宇宙速度與月球的第一宇宙速度之比為9：2．故D錯誤．
故選：BC．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運用．